Funció racional

Calcula el domini de definició de la funció racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.

Determina el domini de la funció $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.

Analitza detalladament la funció racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina el seu domini, simplifica l'expressió algebraica indicant per a quins valors és vàlida la simplificació, troba les equacions de les seves asímptotes i explica quin fenomen gràfic es produeix exactament en el punt d'abscissa $x = 2$.

Troba les coordenades dels punts de tall amb els eixos cartesians de la funció $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.

Estudia el signe de la funció racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicant clarament els intervals de la recta real on la funció pren valors positius i on pren valors negatius.

Comprova analíticament si la funció $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ és parella, senar o no presenta simetria respecte dels eixos de coordenades.

Determina les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.

Discuteix, en funció del paràmetre real $k$, l'existència d'asímptotes verticals per a la funció $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina l'interval de valors de $k$ per als quals la funció no té cap asímptota vertical.

Troba l'equació de l'asímptota obliqua de la funció racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tingui una asímptota vertical en $x = 2$ i una asímptota horitzontal en $y = \frac{5}{3}$.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina el seu domini, les seves asímptotes (verticals, horitzontals o obliqües) i estudia la posició de la corba respecte de la seva asímptota obliqua quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Donada la funció $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica quines transformacions geomètriques elementals (desplaçaments horitzontals i verticals) s'han aplicat a la gràfica de la hipèrbola bàsica $y = \frac{1}{x}$ per obtenir-la.

Sigui la funció racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demostra analíticament que la funció composta $(f \circ f)(x) = x$ per a tot valor de $x$ pertanyent al seu domini. Quina conclusió geomètrica sobre la gràfica de $f(x)$ pots extreure d'aquest resultat en relació amb la recta bisectriu $y = x$?

Determina els valors del paràmetre real $m$ per als quals la recta d'equació $y = mx$ talla la corba racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactament un únic punt. Interpreta geomètricament què representen aquestes rectes específiques per a la corba.

El cost mitjà de producció (en euros) de $x$ unitats d'un component electrònic ve donat per la funció $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcula el cost mitjà de fabricar 100 unitats i determina el valor cap al qual tendeix el cost mitjà si la producció es fa infinitament gran, interpretant el resultat en el context del problema.

Un dipòsit conté inicialment 500 litres d'aigua pura. Es comença a bombejar una solució salina amb una concentració de 40 g/L a un ritme de 10 L/min. La concentració de sal al tanc després de $t$ minuts ve donada per la funció $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. En quin instant la concentració serà exactament de 25 g/L? Quina és l'equació de l'asímptota horitzontal d'aquesta funció i quin significat físic té?

La concentració $C(t)$ d'un fàrmac en el torrent sanguini $t$ hores després de la seva administració intramuscular ve donada per l'expressió $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (mesurada en mg/L). Sense utilitzar eines de derivació, demostra de manera purament algebraica que la concentració màxima mai pot superar els $5$ mg/L i determina en quin instant exacte $t$ s'assoleix aquesta concentració màxima. (Suggeriment: Planteja la igualtat $C = \frac{30t}{t^2+9}$ com una equació de segon grau en la variable $t$ i analitza la condició que ha de complir el seu discriminant perquè el temps sigui un nombre real).