Fins ara la probabilitat s'ha fet servir de manera intuïtiva: "casos favorables entre casos possibles". Però aquesta regla només funciona si tots els resultats són igual de probables, i no explica per què $P(\overline{A}) = 1-P(A)$ o per què $P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ funcionen sempre. El matemàtic Andréi Kolmogórov va formalitzar la probabilitat el 1933 amb només tres regles de partida (els axiomes); tota la resta, inclosa la regla de Laplace, se'n dedueix.
La probabilitat com a funció: els axiomes de Kolmogorov
Practica★☆☆Sense començar
Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ i $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemàticament si els successos $A$ i…
Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ i $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemàticament si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles basant-te en els axiomes de la probabilitat.
La regla de Laplace: un cas particular que compleix els axiomes
La regla de Laplace no és una llei a part: és la forma que pren $P$ quan els $n$ resultats de $E$ són equiprobables. Comprovar que compleix els tres axiomes és senzill i dona seguretat sobre per què funciona.
Practica★☆☆Sense començar
Es disposa d'una urna opaca que conté 5 boles vermelles, 3 boles blaves i 2 boles verdes, totes idèntiques al tacte. Si s'extreu una bola a l'atzar, calcula la…
Es disposa d'una urna opaca que conté 5 boles vermelles, 3 boles blaves i 2 boles verdes, totes idèntiques al tacte. Si s'extreu una bola a l'atzar, calcula la probabilitat de:
Cap d'aquestes regles és un axioma nou: totes es demostren a partir dels tres axiomes de Kolmogórov, i per això són vàlides sempre, siguin equiprobables o no.
Practica★☆☆Sense començar
En una fàbrica de components electrònics, es sap que la probabilitat que un xip tingui un defecte de soldadura és $0,05$, la probabilitat que tingui un defecte en…
En una fàbrica de components electrònics, es sap que la probabilitat que un xip tingui un defecte de soldadura és $0,05$, la probabilitat que tingui un defecte en l'encapsulat és $0,03$, i la probabilitat que me me me/presenti tots dos defectes simultàniament és $0,01$. Calcula la probabilitat que un xip triat a l'atzar me/presenti almenys un dels dos defectes.
En una empresa de desenvolupament de programari, la probabilitat que un programa tingui un error en la interfície d'usuari (succés $U$) és $0,45$. La probabilitat que…
En una empresa de desenvolupament de programari, la probabilitat que un programa tingui un error en la interfície d'usuari (succés $U$) és $0,45$. La probabilitat que tingui un error en la base de dades (succés $D$) és $0,30$. Si la probabilitat que tingui un error en la interfície però no en la base de dades és $0,25$, calcula la probabilitat que el programa no tingui cap error.
Diagrames de Venn amb àrees proporcionals a la probabilitat
Un diagrama de Venn es pot dibuixar de manera que l'àrea de cada regió sigui proporcional a la seva probabilitat: és una manera visual de comprovar que els càlculs són coherents amb els axiomes (tot $E$ suma àrea $1$).
Practica★☆☆Sense començar
Observa el diagrama de Venn següent que representa un espai mostral $E$ i dos successos $A$ i $B$. Sabent que l'àrea de cada regió és proporcional a la seva…
Observa el diagrama de Venn següent que representa un espai mostral $E$ i dos successos $A$ i $B$. Sabent que l'àrea de cada regió és proporcional a la seva probabilitat, expressa en notació de conjunts la regió ombrejada en color verd i calcula la seva probabilitat si $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ i $P(A \cap B) = 0,15$.
En un institut, el $60\%$ dels alumnes de 1r de Batxillerat cursa l'assignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibuix Tècnic i un $20\%$ no en cursa cap de les dues. Si es…
En un institut, el $60\%$ dels alumnes de 1r de Batxillerat cursa l'assignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibuix Tècnic i un $20\%$ no en cursa cap de les dues. Si es tria un alumne a l'atzar, determina les probabilitats següents utilitzant les propietats axiomàtiques i les lleis de De Morgan:
Que cursi totes dues assignatures.
Que cursi Física però no Dibuix Tècnic.
Que cursi exactament una de les dues assignatures.
Cotes de la probabilitat sense conèixer la intersecció
Els axiomes no només donen igualtats: també permeten acotar una probabilitat desconeguda quan falta informació, fent servir que cap probabilitat no pot superar $1$ ni ser negativa.
Practica★★★Sense començar
En un control de qualitat s'apliquen dues proves a una remesa de productes. Se sap que la probabilitat de passar la prova $A$ és $P(A) = 0,85$ i la probabilitat de…
En un control de qualitat s'apliquen dues proves a una remesa de productes. Se sap que la probabilitat de passar la prova $A$ és $P(A) = 0,85$ i la probabilitat de passar la prova $B$ és $P(B) = 0,75$. Sense conèixer la probabilitat de la intersecció, determina algebraicament el valor màxim i el valor mínim que pot prendre la probabilitat que un producte passi totes dues proves, $P(A \cap B)$.
Quan no sabem si un mecanisme és equilibrat, no n'hi ha prou amb comptar resultats i aplicar Laplace. Repetim l'experiment en condicions comparables i estimem $P(A)$ amb la freqüència relativa $f_n(A)=n_A/n$.
Amb l'urna de 5 boles vermelles i 5 de blaves del simulador, cada extracció es fa amb devolució. Reinicia i registra el nombre de vermelles i la seva freqüència en arribar a 20, 200 i 2000 assaigs. Fes servir les tandes d'1, 10, 100 i 1000 per assolir aquests totals. Compara amb $P(\text{vermella})=0{,}5$ i repeteix tota l'experiència.
A practicar! 9 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat