Equacions racionals

Resol la següent equació racional, indicant clarament les seves solucions vàlides:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$

Determina la solució de l'equació, tenint en compte els valors que anul·len els denominadors:

$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$

Troba les solucions de la següent equació:

$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$

Resol l'equació racional factoritzant prèviament els denominadors per trobar el mínim comú múltiple:

$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$

Troba les solucions de la següent equació, descartant aquelles que resultin ser falses (solucions estranyes):

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$

Troba els valors de $x$ que verifiquen la següent equació:

$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$

Dues impressores 3D treballant juntes triguen $6$ hores a fabricar un lot complet de peces per a un projecte d'enginyeria. Si treballessin per separat, la impressora A trigaria $5$ hores menys que la impressora B a completar el mateix lot. Planteja una equació racional i determina quant de temps trigaria la impressora A treballant sola.

Un tren de mercaderies ha de recórrer una distància de $300\text{ km}$. Si augmentés la seva velocitat mitjana en $10\text{ km/h}$, trigaria $1$ hora menys a realitzar el trajecte complet. Planteja una equació racional i calcula la velocitat mitjana a la qual circula el tren inicialment.

Un dissenyador gràfic està creant un cartell rectangular l'àrea del qual ha de ser exactament de $600\text{ cm}^2$. Si augmentés la base del cartell en $10\text{ cm}$ i reduís l'altura en $5\text{ cm}$, l'àrea total continuaria sent la mateixa. Planteja una equació racional i determina les dimensions originals del cartell.

Donada l'equació racional amb paràmetre $a$:

$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$

Determina per a quins valors del paràmetre $a$ l'equació té infinites solucions, i per a quins valors no en té cap.

Resol la següent equació racional, factoritzant prèviament els denominadors per operar amb el mínim comú múltiple:

$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$

Resol la següent equació racional realitzant el canvi de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$:

$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$