Regles de derivació
Els polinomis es deriven restant una unitat a l'exponent i multiplicant pel mateix exponent, però la majoria de funcions reals combinen productes, quocients i funcions posades unes dins d'altres: una exponencial que depèn del temps al quadrat, un cost que és un quocient de polinomis. Per a aquestes combinacions hi ha tres regles fixes —producte, quocient i cadena— que, aplicades en l'ordre correcte, deriven qualsevol funció sense tornar a fer servir límits.
Regla del producte
Determina la derivada de la funció $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ fent ús de la regla del producte.
Determina la derivada de la funció $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ fent ús de la regla del producte.
Regla del quocient
Aplica la regla del quocient per trobar la derivada de la funció racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
Aplica la regla del quocient per trobar la derivada de la funció racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
Regla de la cadena
Calcula la derivada de la funció composta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicant correctament la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la funció composta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicant correctament la regla de la cadena.
Troba la primera derivada de la funció logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
Troba la primera derivada de la funció logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
El nombre de reproduccions diàries d'una cançó que s'ha fet viral evoluciona segons la funció $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, on $t$ es mesura en dies des del seu llançament…
El nombre de reproduccions diàries d'una cançó que s'ha fet viral evoluciona segons la funció $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, on $t$ es mesura en dies des del seu llançament i $R(t)$ en milers de reproduccions. Calcula la taxa de variació instantània $R'(t)$ aplicant les regles de derivació i indica la seva expressió factoritzada al màxim.
Combinant les tres regles
La majoria de funcions reals barregen la cadena amb el producte o amb el quocient. L'estratègia és sempre la mateixa: identifica primer l'operació «més exterior» (és un producte? un quocient? una sola funció composta?) i aplica la seva regla; dins de cada derivada que aparegui, torna a mirar si cal la cadena.
La temperatura d'un forn industrial després de ser apagat descendeix segons la llei de refredament $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, amb $T$ en graus…
La temperatura d'un forn industrial després de ser apagat descendeix segons la llei de refredament $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, amb $T$ en graus Celsius i $t$ en hores. Troba l'expressió de la velocitat de refredament $T'(t)$ usant la regla de la cadena.
El perfil de la coberta d'un estadi olímpic segueix la corba plana donada per $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metres. Calcula l'equació general de la recta tangent en…
El perfil de la coberta d'un estadi olímpic segueix la corba plana donada per $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metres. Calcula l'equació general de la recta tangent en el punt d'abscissa $x = 5$ per dissenyar un suport estructural rectilini que es recolzi tangencialment en aquest punt.
Torna al principi: la funció exponencial que depèn del temps al quadrat és $f(t) = e^{t^2}$; amb la regla de la cadena, la seva derivada és $f'(t) = e^{t^2} \cdot 2t = 2t\,e^{t^2}$.