Transformacions de funcions

Dada la funció $f(x) = x^2 - 3x$, escriu l'expressió algebraica de la funció $g(x)$ que s'obté en traslladar la gràfica de $f(x)$ quatre unitats cap a l'esquerra i dues unitats cap amunt.

Un globus aerostàtic descendeix amb una velocitat constant. La seva altitud en metres ve donada per $A(t) = 800 - 50t$, on $t$ és el temps en minuts. Un segon globus inicia el seu descens $10$ minuts més tard exactament amb el mateix perfil de vol. Escriu l'expressió de l'altitud del segon globus $B(t)$ en funció de $A(t)$ i desenvolupa la seva expressió algebraica final.

La gràfica d'una funció $f(x)$ passa pel punt $P(-3, 5)$. Determina les coordenades del punt homòleg en les gràfiques de les funcions transformades següents:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

Dada la funció elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indica quines transformacions geomètriques (traslladacions, dilatacions, reflexions) cal aplicar succesivament, i en quin ordre, per obtenir la funció $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

La gràfica de la funció $f(x)$ està formada per dos segments de recta que uneixen els punts $(-4, -2)$, $(0, 4)$ i $(4, -2)$. Es defineix una nova funció mitjançant la transformació $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Descriu la seqüència ordenada de transformacions geomètriques aplicades a $f(x)$.

• Calcula les coordenades exactes dels nous vèrtexs de la gràfica de $g(x)$.

Dada la funció elemental $f(x) = \sqrt{x}$, volem obtenir la funció $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Explica detalladament dues seqüències diferents de transformacions geomètriques (alterant l'ordre de les traslladacions i dilatacions horitzontals) que permeten obtenir $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demostra algebraicament que totes dues seqüències condueixen a la mateixa expressió.

Expressa la funció $g(x) = |-x^2 + 4|$ com una funció definida a trossos, eliminant el valor absolut i indicant clarament els intervals on l'expressió original canvia de signe.

En la figura es mostra la corba de llum d'una estrella variable, modelitzada per la funció $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, on $t$ es mesura en dies i $L$ en unitats de lluminositat. Un dens núvol de pols còsmica oscureix l'estrella de tal manera que la lluminositat observada $O(t)$ des de la Terra és exactament el valor absolut de la diferència entre $L(t)$ i la seva lluminositat mitjana.

Determina l'expressió analítica de $O(t)$, calcula el seu nou període i troba en quins instants $t \in [0, 12]$ la lluminositat observada és màxima.