Abans d'atacar triangles qualssevol amb els teoremes del sinus i el cosinus, repassa el cas més senzill: el triangle rectangle. És la base de qualsevol mesura indirecta d'altures, distàncies i pendents.
«Resoldre» un triangle vol dir calcular tots els seus costats i angles. En un triangle rectangle, l'angle recte ja el coneixes: només necessites dues dades més (dos costats, o un costat i un angle agut).
Practica★☆☆Sense començar
Un triangle rectangle té catets que mesuren $5$ cm i $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa i la mesura en graus dels seus dos angles aguts.
Un triangle rectangle té catets que mesuren $5$ cm i $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa i la mesura en graus dels seus dos angles aguts.
Els punts $A(0,0)$, $B(8,0)$ i $C(8,6)$ formen un triangle rectangle en el pla cartesià. Calcula les raons trigonomètriques (sinus, cosinus i tangent) de l'angle situat…
Els punts $A(0,0)$, $B(8,0)$ i $C(8,6)$ formen un triangle rectangle en el pla cartesià. Calcula les raons trigonomètriques (sinus, cosinus i tangent) de l'angle situat al vèrtex $A$.
L'angle d'elevació és el que forma la visual cap a un punt alt amb l'horitzontal: la manera clàssica de mesurar una altura sense pujar-hi.
Practica★☆☆Sense començar
Un obelisc projecta una ombra de $15$ m de llargada al sòl horitzontal en el moment en què els raigs del sol formen un angle de $42^\circ$ amb la horitzontal. Calcula…
Un obelisc projecta una ombra de $15$ m de llargada al sòl horitzontal en el moment en què els raigs del sol formen un angle de $42^\circ$ amb la horitzontal. Calcula l'altura de l'obelisc.
Un nen fa volar un estel que està subjecte per un fil de $45$ m de longitud, el qual es manté completament tens. Si el fil forma un angle de $55^\circ$ amb el sòl…
Un nen fa volar un estel que està subjecte per un fil de $45$ m de longitud, el qual es manté completament tens. Si el fil forma un angle de $55^\circ$ amb el sòl horitzontal, a quina altura es troba l'estel? (Assumeix que el nen manté el fil a ran de sòl).
Una rampa recta d'accés per a cadires de rodes té una longitud de $6$ m i salva un desnivell vertical de $0,45$ m. Determina l'angle d'inclinació de la rampa respecte a…
Una rampa recta d'accés per a cadires de rodes té una longitud de $6$ m i salva un desnivell vertical de $0,45$ m. Determina l'angle d'inclinació de la rampa respecte a la horitzontal.
Mirant cap avall des d'un punt alt, l'angle entre la visual i l'horitzontal és l'angle de depressió. Per angles alterns entre paral·leles, és igual a l'angle d'elevació vist des del punt baix.
Practica★★☆Sense començar
Des de la llanterna d'un far, situada a $45$ m sobre el nivell del mar, s'observen dos vaixells que naveguen alineats amb la base del far. L'angle de depressió sota el…
Des de la llanterna d'un far, situada a $45$ m sobre el nivell del mar, s'observen dos vaixells que naveguen alineats amb la base del far. L'angle de depressió sota el qual es veu el vaixell més proper és de $34^\circ$, i el del vaixell més llunyà és de $18^\circ$. Calcula la distància exacta que separa tots dos vaixells.
Dues xemeneies industrials verticals de $20$ m i $35$ m d'alçària estan construïdes sobre un terreny pla. Des del punt mitjà del segment rectilini que uneix les seves…
Dues xemeneies industrials verticals de $20$ m i $35$ m d'alçària estan construïdes sobre un terreny pla. Des del punt mitjà del segment rectilini que uneix les seves bases, s'observa el cim de la primera xemeneia amb un angle d'elevació de $35^\circ$. Amb quin angle d'elevació s'observarà el cim de la segona xemeneia des d'aquest mateix punt mitjà?
Quan no pots mesurar una altura directament, una altra estratègia és prendre l'angle d'elevació des de dos punts diferents alineats amb la base, i plantejar un sistema amb la mateixa altura $h$ en totes dues equacions.
Practica★★☆Sense començar
Des d'un punt a terra s'observa la nacel·la d'un aerogenerador amb un angle d'elevació de $32^\circ$. En avançar $25$ m en línia recta cap a la base del pal, el nou…
Des d'un punt a terra s'observa la nacel·la d'un aerogenerador amb un angle d'elevació de $32^\circ$. En avançar $25$ m en línia recta cap a la base del pal, el nou angle d'elevació és de $50^\circ$. Planteja un sistema d'equacions trigonomètriques i calcula l'altura de l'aerogenerador.
Dos observadors, $A$ i $B$, es troben separats per una distància de $300$ m en una plana horitzontal. Tots dos miren cap a un dron estàtic que es troba exactament en el…
Dos observadors, $A$ i $B$, es troben separats per una distància de $300$ m en una plana horitzontal. Tots dos miren cap a un dron estàtic que es troba exactament en el pla vertical que passa per la línia recta que els uneix, i situat espacialment entre ells. L'observador $A$ veu el dron amb un angle d'elevació de $60^\circ$ i l'observador $B$ el veu amb un angle de $45^\circ$. Calcula l'alçària exacta a la qual vola el dron, expressant el resultat amb radicals.
Rampes, polígons regulars inscrits i tangents a una circumferència des d'un punt exterior es resolen dividint la figura en triangles rectangles.
Practica★★☆Sense començar
Calcula l'àrea i el perímetre d'un hexàgon regular que està inscrit en una circumferència de $12$ cm de radi. (Recorda dividir el polígon en triangles per utilitzar la…
Calcula l'àrea i el perímetre d'un hexàgon regular que està inscrit en una circumferència de $12$ cm de radi. (Recorda dividir el polígon en triangles per utilitzar la trigonometria).
Un senyal de trànsit adverteix d'un pendent prolongat del $15\%$. Això indica que per cada $100$ m que s'avança en la projecció horitzontal, s'ascendeixen $15$ m en la…
Un senyal de trànsit adverteix d'un pendent prolongat del $15\%$. Això indica que per cada $100$ m que s'avança en la projecció horitzontal, s'ascendeixen $15$ m en la vertical. Calcula l'angle d'inclinació de la carretera i la distància real que recorrerà un vehicle sobre l'asfalt si avança $600$ m en la projecció horitzontal.
Sobre el terrat pla d'un edifici hi ha instal·lada una antena de telecomunicacions. Des d'un punt a terra, situat a $45$ m de la base de l'edifici, un topògraf observa…
Sobre el terrat pla d'un edifici hi ha instal·lada una antena de telecomunicacions. Des d'un punt a terra, situat a $45$ m de la base de l'edifici, un topògraf observa la base de l'antena amb un angle d'elevació de $38^\circ$ i la punta superior de l'antena amb un angle d'elevació de $46^\circ$. Calcula l'alçària de l'edifici i la longitud exacta de l'antena.