Un bacteri es triplica, una pilota rebota cada vegada a menys altura, una inversió genera interès compost. En tots els casos, cada terme surt de multiplicar l'anterior per un nombre fix. Ja ho vas veure a 3r d'ESO: ara ho combinaràs amb logaritmes, equacions i la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga.
Escriu els cinc primers termes i troba l'expressió del terme general d'una progressió geomètrica sabent que el seu primer terme és $a_1 = 3$ i la seva raó és $r = 2$.
Escriu els cinc primers termes i troba l'expressió del terme general d'una progressió geomètrica sabent que el seu primer terme és $a_1 = 3$ i la seva raó és $r = 2$.
Un equip industrial costa $24\,000$ euros i es deprecia un $12\%$ cada any respecte al valor de l'any anterior. Escriu el terme general de la successió que modelitza el…
Un equip industrial costa $24\,000$ euros i es deprecia un $12\%$ cada any respecte al valor de l'any anterior. Escriu el terme general de la successió que modelitza el seu valor i calcula quant valdrà al cap de $6$ anys.
Es dipositen $5000$ euros en una entitat financera a un interès compost anual del $3,5\%$. Escriu l'expressió general del capital acumulat al final de l'any $n$. Quants…
Es dipositen $5000$ euros en una entitat financera a un interès compost anual del $3,5\%$. Escriu l'expressió general del capital acumulat al final de l'any $n$. Quants diners hi haurà al compte al cap de $8$ anys si no es retira res?
Es té un quadrat de costat $10$ cm. Unint els punts mitjans dels seus costats es forma un segon quadrat. Unint els punts mitjans dels costats d'aquest segon quadrat es…
Es té un quadrat de costat $10$ cm. Unint els punts mitjans dels seus costats es forma un segon quadrat. Unint els punts mitjans dels costats d'aquest segon quadrat es forma un tercer quadrat, i així successivament. Calcula la suma de les àrees dels infinits quadrats formats mitjançant aquest procés.
Depreciacions, poblacions de bacteris, alçades de rebot, fractals: identifica $a_1$ i $r$, i si la pregunta és sobre un terme concret, una suma finita o una suma infinita.
Practica★★☆Sense començar
En un cultiu de laboratori, una població de bacteris es triplica cada $4$ hores. Si inicialment s'introdueixen $100$ bacteris a la placa, quants bacteris hi haurà quan…
En un cultiu de laboratori, una població de bacteris es triplica cada $4$ hores. Si inicialment s'introdueixen $100$ bacteris a la placa, quants bacteris hi haurà quan hagin transcorregut $24$ hores? Expressa el resultat utilitzant potències.
Aquiles i la tortuga disputan una cursa. Aquiles corre a $10$ m/s i la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parteix amb un avantatge de $100$ metres. Quan Aquiles recorre…
Aquiles i la tortuga disputan una cursa. Aquiles corre a $10$ m/s i la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parteix amb un avantatge de $100$ metres. Quan Aquiles recorre aquests $100$ metres, la tortuga ha avançat $10$ metres. Quan Aquiles recorre aquests $10$ metres, la tortuga avança $1$ metre, i així successivament. Planteja la distància total que recorre Aquiles com la suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica i demostra que el resultat és finit.
Torna al principi: A la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga, les infinites distàncies recorregudes formen una progressió geomètrica de raó $r < 1$: la seva suma total $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$ és finita, per la qual cosa Aquil·les sí que atrapa la tortuga en un espai i un temps perfectament finits.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat