Interpretació física de la derivada
El velocímetre d'un cotxe no mesura la velocitat mitjana de tot el trajecte: marca la velocitat just en aquell instant. Aquesta és precisament la idea física que hi ha darrere de la derivada, i és la raó històrica per la qual Newton la va inventar.
Velocitat instantània: la derivada de la posició
La posició d'un objecte en caiguda lliure ve donada per la funció $s(t) = 100 - 4,9t^2$, on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons. Determina la funció que descriu la…
La posició d'un objecte en caiguda lliure ve donada per la funció $s(t) = 100 - 4,9t^2$, on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons. Determina la funció que descriu la seva velocitat $v(t)$ i la seva acceleració $a(t)$.
Un tren es desplaça per una via recta amb una equació de moviment $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, amb $e$ en metres i $t$ en segons. Calcula la velocitat del tren en…
Un tren es desplaça per una via recta amb una equació de moviment $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, amb $e$ en metres i $t$ en segons. Calcula la velocitat del tren en l'instant $t = 2$ s.
Acceleració: la derivada de la velocitat
La posició d'una partícula en funció del temps és $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina l'acceleració de la partícula en l'instant $t = 1$.
La posició d'una partícula en funció del temps és $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina l'acceleració de la partícula en l'instant $t = 1$.
Un cotxe de proves té una velocitat donada per la funció $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula la seva acceleració en l'instant $t = 3$ s.
Un cotxe de proves té una velocitat donada per la funció $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula la seva acceleració en l'instant $t = 3$ s.
El signe de $v(t)$ i $a(t)$: sentit del moviment
Un globus aerostàtic ascendeix de manera que la seva altitud en metres ve donada per $h(t) = 15t - t^2$. En quin instant $t$ es fa nul·la la seva velocitat?
Un globus aerostàtic ascendeix de manera que la seva altitud en metres ve donada per $h(t) = 15t - t^2$. En quin instant $t$ es fa nul·la la seva velocitat?
Es llança un coet de joguina verticalment cap amunt. La seva altitud en metres després de $t$ segons és $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el temps que triga a assolir la…
Es llança un coet de joguina verticalment cap amunt. La seva altitud en metres després de $t$ segons és $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el temps que triga a assolir la seva altitud màxima i calcula el valor exacte d'aquesta altitud.
La posició d'una partícula ve donada per $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina els intervals de temps en els quals la partícula avança cap a la dreta (…
La posició d'una partícula ve donada per $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina els intervals de temps en els quals la partícula avança cap a la dreta ($v(t) > 0$) i en els quals retrocedeix cap a l'esquerra ($v(t) < 0$).
Altres taxes de variació instantània
La derivada no és només velocitat: serveix per descriure el ritme instantani de canvi de qualsevol magnitud en funció d'una altra. Fora de la cinemàtica, les magnituds i les unitats canvien, però el càlcul és idèntic.
La càrrega elèctrica que travessa una secció d'un cable en funció del temps és $q(t) = 2t^2 + 3t$ coulombs. Sabent que la intensitat de corrent és la derivada de la…
La càrrega elèctrica que travessa una secció d'un cable en funció del temps és $q(t) = 2t^2 + 3t$ coulombs. Sabent que la intensitat de corrent és la derivada de la càrrega respecte al temps, calcula la intensitat en $t = 4$ s.
El cost de producció de $x$ unitats d'un component electrònic és $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. El cost marginal es defineix com la derivada del cost respecte al…
El cost de producció de $x$ unitats d'un component electrònic és $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. El cost marginal es defineix com la derivada del cost respecte al nombre d'unitats. Calcula el cost marginal per a $x = 50$ unitats i explica què representa aquest valor en el context de la fàbrica.
Velocitat mitjana davant de velocitat instantània
L'altitud d'un projectil en metres és $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocitat mitjana en l'interval $[1, 3]$ i compara-la amb la velocitat instantània en $t = 2$.
L'altitud d'un projectil en metres és $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocitat mitjana en l'interval $[1, 3]$ i compara-la amb la velocitat instantània en $t = 2$.
La temperatura d'un forn industrial durant un procés de refredament ve donada per $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en graus Celsius, amb $t$ en minuts. Calcula la velocitat…
La temperatura d'un forn industrial durant un procés de refredament ve donada per $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en graus Celsius, amb $t$ en minuts. Calcula la velocitat de refredament (taxa de variació instantània de la temperatura) en $t = 5$ min i en $t = 15$ min. Interpreta el significat físic dels signes obtinguts.