Problemes de sistemes
Plantejar un sistema a partir d'un enunciat és, moltes vegades, més difícil que resoldre'l. La dificultat és a traduir frases en equacions i a decidir quantes incògnites calen: dues, com a 4t d'ESO, o tres, quan el problema combina tres quantitats diferents.
Plantejar: tantes equacions com incògnites
La suma de dos nombres enters és $54$ i la seva diferència és $12$. Planteja un sistema d'equacions i calcula el valor de tots dos nombres.
La suma de dos nombres enters és $54$ i la seva diferència és $12$. Planteja un sistema d'equacions i calcula el valor de tots dos nombres.
Preus i mescles
Quan hi intervenen tres articles en lloc de dos, el plantejament és igual, però el sistema resultant necessita el mètode de Gauss.
En una ferreteria, un client compra $4$ cargols i $3$ femelles per un total de $2,10$ €. Un altre client compra $2$ cargols i $5$ femelles per $1,75$ €. Planteja un…
En una ferreteria, un client compra $4$ cargols i $3$ femelles per un total de $2,10$ €. Un altre client compra $2$ cargols i $5$ femelles per $1,75$ €. Planteja un sistema d'equacions lineals i calcula el preu de cada article.
En una botiga d'esports es venen pilotes de futbol, bàsquet i voleibol. El preu d'una pilota de futbol és de $25$ €, el de bàsquet $30$ € i el de voleibol $20$ €. Un…
En una botiga d'esports es venen pilotes de futbol, bàsquet i voleibol. El preu d'una pilota de futbol és de $25$ €, el de bàsquet $30$ € i el de voleibol $20$ €. Un club ha comprat $40$ pilotes per un total de $1030$ €. Sabent que el nombre de pilotes de futbol comprades és igual a la suma de les de bàsquet i voleibol, planteja un sistema de tres equacions i determina quantes pilotes de cada esport s'han adquirit.
Una empresa reparteix els seus beneficis anuals entre els seus tres socis A, B i C. El soci A rep el doble que el soci B, i el soci C rep $4000$ € més que el soci B. Si…
Una empresa reparteix els seus beneficis anuals entre els seus tres socis A, B i C. El soci A rep el doble que el soci B, i el soci C rep $4000$ € més que el soci B. Si el benefici total que s'ha de repartir és de $52000$ €, planteja un sistema de tres equacions lineals i calcula la quantitat que rep cada soci.
Edats i geometria
Quan una de les relacions és l'àrea o la diagonal (no el perímetre), l'equació deixa de ser lineal: es planteja igual, però es resol amb les tècniques de sistemes no lineals de l'apartat següent.
L'edat actual d'un pare és el triple que la del seu fill. D'aquí a $10$ anys, l'edat del pare serà exactament el doble que la del fill. Determina les edats que tenen…
L'edat actual d'un pare és el triple que la del seu fill. D'aquí a $10$ anys, l'edat del pare serà exactament el doble que la del fill. Determina les edats que tenen actualment tots dos.
El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $130$ metres. Es sap que la llargada de la parcel·la mesura $15$ metres més que l'amplada. Planteja un sistema…
El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $130$ metres. Es sap que la llargada de la parcel·la mesura $15$ metres més que l'amplada. Planteja un sistema d'equacions i determina les dimensions de la parcel·la.
Les dimensions d'un camp de joc rectangular són tals que la seva àrea és de $6000$ m² i la longitud de la seva diagonal és $130$ m. Planteja un sistema d'equacions no…
Les dimensions d'un camp de joc rectangular són tals que la seva àrea és de $6000$ m² i la longitud de la seva diagonal és $130$ m. Planteja un sistema d'equacions no lineal per calcular la llargada i l'amplada del camp.
Moviment i repartiments
Un examen de matemàtiques consta de $30$ preguntes. Per cada resposta correcta es sumen $5$ punts i per cada resposta incorrecta o en blanc es resten $2$ punts. Un…
Un examen de matemàtiques consta de $30$ preguntes. Per cada resposta correcta es sumen $5$ punts i per cada resposta incorrecta o en blanc es resten $2$ punts. Un alumne ha obtingut $94$ punts en total. Quantes preguntes ha respost correctament?
Dues aixetes omplen un dipòsit en $6$ hores si s'obren alhora. Si la primera aixeta triga $5$ hores menys que la segona a omplir el dipòsit per separat, planteja un…
Dues aixetes omplen un dipòsit en $6$ hores si s'obren alhora. Si la primera aixeta triga $5$ hores menys que la segona a omplir el dipòsit per separat, planteja un sistema d'equacions (que inclourà fraccions algebraiques) per determinar quant trigaria cada aixeta a omplir-lo de manera individual.
Dos trens surten simultàniament de dues estacions A i B separades per $450$ km, circulant per vies paral·leles i en sentits oposats. Es creuen al cap de $3$ hores. Si el…
Dos trens surten simultàniament de dues estacions A i B separades per $450$ km, circulant per vies paral·leles i en sentits oposats. Es creuen al cap de $3$ hores. Si el tren que surt de A hagués sortit $1$ hora abans que el tren de B, s'haurien creuat a $306$ km de l'estació A. Planteja un sistema d'equacions per calcular les velocitats constants de tots dos trens.
Discutir la compatibilitat d'un problema amb paràmetre
Alguns problemes reals (repartiment de trànsit entre rutes, distribució de recursos) depenen d'un paràmetre que no coneixes per endavant. Discutir el sistema diu si el problema té solució única, diverses solucions possibles o cap, abans de resoldre'l del tot.
Un sistema d'equacions lineals dependent d'un paràmetre $k$ modelitza la distribució de vehicles en tres rutes alternatives $x$, $y$, $z$:…
Un sistema d'equacions lineals dependent d'un paràmetre $k$ modelitza la distribució de vehicles en tres rutes alternatives $x$, $y$, $z$:
$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $
Determina per a quins valors del paràmetre $k$ el model té una solució única, infinites solucions o cap solució, i interpreta què significa físicament que el sistema resulti incompatible.
Un agricultor vol tancar un camp de forma rectangular que limita amb un riu recte, per la qual cosa no necessita posar tanca al costat del riu. Disposa de exactament…
Un agricultor vol tancar un camp de forma rectangular que limita amb un riu recte, per la qual cosa no necessita posar tanca al costat del riu. Disposa de exactament $400$ metres de tanca. Sabent que l'àrea tancada ha de ser de $20000$ m², planteja un sistema d'equacions per trobar les dimensions del camp i discuteix justificadament si existeix una única solució per al problema.