Angle entre dues rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat
Quan dues rectes es creuen, ho fan formant un angle concret. Aquest angle es pot calcular sense transportador, sense dibuixar res: n'hi ha prou amb els pendents o els vectors directors de les dues rectes. És l'eina que fan servir els robots industrials per comprovar que dos raïls són perpendiculars, o un arquitecte perquè dos murs formin l'angle exacte del plànol.
L'angle entre dues rectes
Calcula l'angle agut que formen les rectes $r: 2x - y + 4 = 0$ i $s: 3x + y - 1 = 0$.
Calcula l'angle agut que formen les rectes $r: 2x - y + 4 = 0$ i $s: 3x + y - 1 = 0$.
Calcula l'angle que formen les rectes donades per les seves equacions explícites $y = 2x + 1$ i $y = -3x + 4$.
Calcula l'angle que formen les rectes donades per les seves equacions explícites $y = 2x + 1$ i $y = -3x + 4$.
Rectes paral·leles
Determina l'equació general de la recta paral·lela a $y = 3x - 5$ que passa pel punt $P(2, -1)$.
Determina l'equació general de la recta paral·lela a $y = 3x - 5$ que passa pel punt $P(2, -1)$.
Dades les rectes $r: kx - 2y + 5 = 0$ i $s: 3x + 4y - 1 = 0$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè totes dues rectes siguin paral·leles.
Dades les rectes $r: kx - 2y + 5 = 0$ i $s: 3x + 4y - 1 = 0$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè totes dues rectes siguin paral·leles.
Rectes perpendiculars
Troba l'equació de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que passa per l'origen de coordenades. Expressa el resultat en forma explícita.
Troba l'equació de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que passa per l'origen de coordenades. Expressa el resultat en forma explícita.
Troba el valor de $m$ perquè les rectes $r: 5x + 2y = 0$ i $s: mx - 5y + 3 = 0$ siguin perpendiculars.
Troba el valor de $m$ perquè les rectes $r: 5x + 2y = 0$ i $s: mx - 5y + 3 = 0$ siguin perpendiculars.
Indica quines de les rectes següents són paral·leles i quines són perpendiculars entre si: $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$ $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$ $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Indica quines de les rectes següents són paral·leles i quines són perpendiculars entre si:
-
$r_1: 2x - 3y + 1 = 0$
-
$r_2: 6x + 4y - 5 = 0$
-
$r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Rectes amb un paràmetre
Quan una recta depèn d'un paràmetre, les condicions de paral·lelisme i perpendicularitat es tradueixen en una equació que determina aquest paràmetre, i la condició d'angle exacte es tradueix aplicant la fórmula de la tangent.
Calcula els valors del paràmetre $k$ perquè la recta $kx + y - 2 = 0$ formi un angle de $45^\circ$ amb la recta d'equació $x - 2y + 1 = 0$.
Calcula els valors del paràmetre $k$ perquè la recta $kx + y - 2 = 0$ formi un angle de $45^\circ$ amb la recta d'equació $x - 2y + 1 = 0$.
Dos avions segueixen trajectòries rectilínies en la pantalla d'un radar donades per les equacions $r: x - 3y + 2 = 0$ i $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o…
Dos avions segueixen trajectòries rectilínies en la pantalla d'un radar donades per les equacions $r: x - 3y + 2 = 0$ i $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valors) de $k$ perquè les seves rutes es creuin formant un angle exacte de $60^\circ$.
Dos braços robòtics en una fàbrica es desplacen sobre carrils rectilinis. El primer segueix la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ i el segon la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$. 1.…
Dos braços robòtics en una fàbrica es desplacen sobre carrils rectilinis. El primer segueix la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ i el segon la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.
-
Determina $a$ perquè els carrils siguin paral·lels.
-
Troba l'equació d'un tercer carril transversal que sigui perpendicular a tots dos i que creui el carril $r$ exactament en el seu punt de tall amb l'eix d'ordenades.
Aplicacions: altures, reflexions i estructures
La perpendicularitat apareix sempre que alguna cosa ha de «caure en angle recte»: l'altura d'un triangle sobre el seu costat, el raig reflectit en un mirall, una biga transversal que reforça una estructura.
En el disseny d'un parc, una nova avinguda ha de ser perpendicular al carrer principal definit per l'equació $3x - 4y + 10 = 0$. A més, aquesta avinguda ha de passar pel…
En el disseny d'un parc, una nova avinguda ha de ser perpendicular al carrer principal definit per l'equació $3x - 4y + 10 = 0$. A més, aquesta avinguda ha de passar pel punt d'intersecció dels carrers secundaris $x + y - 2 = 0$ i $2x - y - 4 = 0$. Obtén l'equació general de la nova avinguda.
Dat un triangle de vèrtexs $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ i $C(4, 6)$, troba l'equació general de l'altura corresponent al vèrtex $A$ i calcula l'angle que forma aquesta altura…
Dat un triangle de vèrtexs $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ i $C(4, 6)$, troba l'equació general de l'altura corresponent al vèrtex $A$ i calcula l'angle que forma aquesta altura amb el costat $AB$.
En el pla d'una estructura metàl·lica, una biga de suport principal s'assenta sobre la recta que passa pels nusos $P(-2, 4)$ i $Q(4, 1)$. Es necessita soldar una segona…
En el pla d'una estructura metàl·lica, una biga de suport principal s'assenta sobre la recta que passa pels nusos $P(-2, 4)$ i $Q(4, 1)$. Es necessita soldar una segona biga perpendicular a la primera exactament en el seu punt mitjà. Troba l'equació explícita de la recta que defineix aquesta segona biga.