Successions exponencials. El nombre e
Si inverteixes diners i l'entitat et paga interessos cada cop més vegades a l'any (mensualment, diàriament, per segon…), quant més pots guanyar? La resposta té un límit molt concret, i aquest límit és un dels nombres més importants de les matemàtiques: el nombre $e$.
La successió que defineix el nombre $e$
Calcula $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ per a $n$ cada cop més gran: $n=1\to2$; $n=10\to2{,}5937\ldots$; $n=100\to2{,}7048\ldots$; $n=10\,000\to2{,}71814\ldots$
Observa com la successió s'apropa a $e$ sense superar-lo mai, per gran que facis $n$:
Calcula el límit de la successió exponencial següent: $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Calcula el límit de la successió exponencial següent:
$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Calcula el límit de la successió amb terme general: $e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
Calcula el límit de la successió amb terme general:
$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
La fórmula general per a $1^{\infty}$
La mateixa idea es repeteix amb moltes bases i exponents diferents. Hi ha una fórmula que converteix qualsevol $1^{\infty}$ en un límit més senzill, fent servir exponent per (base menys 1).
Determina el límit de la successió següent, sabent que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$: $f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$
Determina el límit de la successió següent, sabent que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$:
$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$
Calcula el límit de la successió següent, resolent la indeterminació corresponent: $a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Calcula el límit de la successió següent, resolent la indeterminació corresponent:
$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Determina el límit de la successió següent resolent la indeterminació del tipus $1^\infty$: $b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$
Determina el límit de la successió següent resolent la indeterminació del tipus $1^\infty$:
$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$
Exponent algebraic més complicat
De vegades l'exponent no és $n$ ni un múltiple simple, sinó una fracció algebraica. El procediment és idèntic: calcular $b_n\cdot(a_n-1)$ i resoldre aquest límit amb les tècniques que ja coneixes (graus, conjugat…).
Troba el límit de la successió combinant polinomis de segon grau a la base: $c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$
Troba el límit de la successió combinant polinomis de segon grau a la base:
$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$
Calcula el límit de la successió següent, que presenta un exponent algebraic en forma de fracció: $d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$
Calcula el límit de la successió següent, que presenta un exponent algebraic en forma de fracció:
$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$
Calcula el límit de la successió exponencial formada per polinomis de segon grau tant a la base com a l'exponent:…
Calcula el límit de la successió exponencial formada per polinomis de segon grau tant a la base com a l'exponent:
$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$
El nombre $e$ en l'interès compost continu
Si capitalitzes un capital $n$ vegades a l'any a un interès nominal $r$, el capital després d'un any és $C\cdot\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n$. Quan $n\to\infty$ (capitalització contínua, instant a instant), apareix el nombre $e$.
Es dipositen $5000$ euros en una entitat financera a un interès anual del $4\%$. La fórmula del capital final després de $n$ anys amb capitalització contínua ve donada…
Es dipositen $5000$ euros en una entitat financera a un interès anual del $4\%$. La fórmula del capital final després de $n$ anys amb capitalització contínua ve donada per la successió $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calcula el capital acumulat després de $10$ anys i compara'l amb el capital obtingut si la capitalització fos anual, l'expressió de la qual és $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.
S'inverteixen $10000$ euros a un tipus d'interès nominal anual del $5\%$. La successió que descriu el capital final si els interessos es capitalitzen $n$ vegades a l'any…
S'inverteixen $10000$ euros a un tipus d'interès nominal anual del $5\%$. La successió que descriu el capital final si els interessos es capitalitzen $n$ vegades a l'any és $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calcula el límit d'aquesta successió quan $n \to \infty$ per trobar el capital final sota capitalització contínua. Compara aquest resultat amb el capital obtingut si es capitalitza trimestralment ($n=4$).
Creixement i decaïment exponencial amb $e$
Molts processos naturals (desintegració radioactiva, refredament, farmacologia) es descriuen directament amb una exponencial de base $e$: $a_n = a_0\cdot e^{kn}$, amb $k>0$ per a creixement i $k<0$ per a decaïment.
La quantitat d'un isòtop radioactiu en una mostra disminueix de forma exponencial segons la successió $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, on $n$ és el nombre d'anys…
La quantitat d'un isòtop radioactiu en una mostra disminueix de forma exponencial segons la successió $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, on $n$ és el nombre d'anys transcorreguts i $M_n$ es mesura en grams. Quants grams quedaran en la mostra després de $20$ anys? Cap a quin valor tendeix la massa a llarg termini (quan $n \to \infty$)?
En un experiment de termodinàmica, la diferència de temperatura entre un cos metàl·lic i el seu entorn disminueix exponencialment seguint la successió…
En un experiment de termodinàmica, la diferència de temperatura entre un cos metàl·lic i el seu entorn disminueix exponencialment seguint la successió $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, essent $n$ els minuts transcorreguts des de l'inici del refredament. Calcula la diferència de temperatura als $30$ minuts i determina el límit de la successió quan $n \to \infty$.
Torna al principi: Si inverteixes a un tipus d'interès anual $r$, liquidar els interessos de manera contínua no dispara els teus beneficis fins a l'infinit, sinó que el teu capital final queda acotat exactament per $C \cdot e^r$ (per exemple, a un $5\,\%$, el rendiment passa d'un $5\,\%$ anual a un topall del $5{,}13\,\%$).