Hipèrbola
Un vaixell enmig del mar capta senyals de ràdio de dues estacions costaneres i nota que una li arriba abans que l'altra: això n'hi ha prou per saber que es troba sobre una corba molt concreta, amb forma de dues branques que s'obren cap a l'infinit. És la hipèrbola, la cònica que fan servir els sistemes de navegació LORAN i les torres de refrigeració de les centrals tèrmiques.
La hipèrbola com a lloc geomètric
Escriu l'equació reduïda de la hipèrbola els focs de la qual són $F(5, 0)$ i $F'(-5, 0)$ i l'eix real de la qual mesura $8$.
Escriu l'equació reduïda de la hipèrbola els focs de la qual són $F(5, 0)$ i $F'(-5, 0)$ i l'eix real de la qual mesura $8$.
Elements i equació reduïda
Donada la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina les coordenades dels seus vèrtexs, dels seus focs i les equacions de les seves asímptotes.
Donada la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina les coordenades dels seus vèrtexs, dels seus focs i les equacions de les seves asímptotes.
Les asímptotes
Determina l'equació d'una hipèrbola equilàtera centrada a l'origen sabent que passa pel punt $P(4, 2)$ i que els seus focs estan situats sobre l'eix d'abscisses.
Determina l'equació d'una hipèrbola equilàtera centrada a l'origen sabent que passa pel punt $P(4, 2)$ i que els seus focs estan situats sobre l'eix d'abscisses.
Calcula l'excentricitat de la hipèrbola l'equació general de la qual ve donada per l'expressió $16x^2 - 9y^2 = 144$.
Calcula l'excentricitat de la hipèrbola l'equació general de la qual ve donada per l'expressió $16x^2 - 9y^2 = 144$.
L'excentricitat i la navegació LORAN
El sistema LORAN situa dues estacions de ràdio als focus; un vaixell mesura la diferència de temps amb què rep totes dues senyals, i aquesta diferència (multiplicada per la velocitat de l'ona) és directament $2a$: el vaixell és sobre una branca coneguda d'una hipèrbola.
En el disseny d'una torre de refrigeració per a una central tèrmica, l'estructura té forma d'hiperboloide de revolució. La secció transversal vertical és una hipèrbola…
En el disseny d'una torre de refrigeració per a una central tèrmica, l'estructura té forma d'hiperboloide de revolució. La secció transversal vertical és una hipèrbola amb el centre a l'origen de coordenades. La torre té una alçària total de $160\text{ m}$. La part més estreta (el coll) té un diàmetre de $60\text{ m}$ i es troba a una alçària de $120\text{ m}$ sobre la base. A més, el diàmetre a la part més alta de la torre és de $100\text{ m}$. Determina l'equació de la hipèrbola que perfila la torre i calcula el diàmetre de la base circular.
El sistema de navegació LORAN determina la posició d'un vaixell mesurant la diferència de temps en la recepció de senyals de dues estacions de ràdio. Les estacions $A$ i…
El sistema de navegació LORAN determina la posició d'un vaixell mesurant la diferència de temps en la recepció de senyals de dues estacions de ràdio. Les estacions $A$ i $B$ estan situades en un sistema de coordenades cartesianes als punts $(-60, 0)$ i $(60, 0)$, amb les distàncies expressades en quilòmetres. Un vaixell $P$ rep el senyal de $A$ un temps després que el de $B$, la qual cosa indica que el vaixell està $100\text{ km}$ més a prop de $B$ que de $A$. Determina l'equació de la hipèrbola sobre la qual navega el vaixell i calcula la distància del vaixell a l'estació $B$ si se sap que la seva ordenada és $y = 45\text{ km}$.