Funció polinòmica
Un dron de vigilància enlaira el vol i el centre de control registra la seva altura a cada instant: $h(t) = -5t^2+20t+2$. Aquesta expressió és un polinomi en $t$, i la gràfica que descriu el vol del dron és la gràfica d'una funció polinòmica. En aquest apartat formalitzaràs el que ja coneixes de rectes i paràboles: domini, recorregut, què passa quan $x$ creix sense límit, quan hi ha simetria, i com utilitzar les arrels per estudiar el signe de la funció.
Què és una funció polinòmica
Segons el grau, cada família té nom propi i propietats diferents: grau $1$ és funció afí (recta), grau $2$ és funció quadràtica (paràbola), i grau $3$ o superior s'anomena simplement funció polinòmica de grau $n$. El recorregut, en canvi, depèn de la família: no sempre és $\mathbb{R}$.
Calcula el valor del paràmetre $c$ perquè la funció quadràtica $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passi pel punt $(-1, 10)$.
Calcula el valor del paràmetre $c$ perquè la funció quadràtica $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passi pel punt $(-1, 10)$.
Determina els coeficients $a$, $b$ i $c$ de la funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(0, 3)$, $(1, 4)$ i…
Determina els coeficients $a$, $b$ i $c$ de la funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(0, 3)$, $(1, 4)$ i $(-1, 6)$.
Funció afí: grau 1
Troba l'expressió analítica de la funció afí que passa pels punts $A(2, -3)$ i $B(5, 6)$.
Troba l'expressió analítica de la funció afí que passa pels punts $A(2, -3)$ i $B(5, 6)$.
Funció quadràtica: vèrtex i concavitat
Determina les coordenades del vèrtex i l'equació de l'eix de simetria de la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Determina les coordenades del vèrtex i l'equació de l'eix de simetria de la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Indica si la paràbola donada per la funció $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ és còncava (branques cap avall) o convexa (branques cap amunt) i calcula les coordenades exactes del…
Indica si la paràbola donada per la funció $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ és còncava (branques cap avall) o convexa (branques cap amunt) i calcula les coordenades exactes del seu vèrtex.
Troba l'equació de la paràbola el vèrtex de la qual és el punt $V(3, -2)$ i que passa pel punt $P(5, 6)$. Expressa el resultat en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Troba l'equació de la paràbola el vèrtex de la qual és el punt $V(3, -2)$ i que passa pel punt $P(5, 6)$. Expressa el resultat en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Comportament a l'infinit i simetria
El grau i el signe del coeficient director determinen què li passa a $f(x)$ quan $x\to+\infty$ i quan $x\to-\infty$: les anomenades branques infinites.
Analitza el comportament a l'infinit (branques infinites) de la funció polinòmica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinant el valor dels seus límits quan…
Analitza el comportament a l'infinit (branques infinites) de la funció polinòmica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinant el valor dels seus límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.
Una funció polinòmica de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ és senar. Sabent que passa pels punts $(1, -4)$ i $(2, 4)$, determina la seva expressió analítica i…
Una funció polinòmica de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ és senar. Sabent que passa pels punts $(1, -4)$ i $(2, 4)$, determina la seva expressió analítica i calcula tots els seus punts de tall amb els eixos de coordenades.
Arrels, factorització i signe
Calcula analíticament els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció polinòmica $p(x) = x^3 - 4x$.
Calcula analíticament els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció polinòmica $p(x) = x^3 - 4x$.
Troba les arrels de la funció polinòmica de segon grau $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Troba les arrels de la funció polinòmica de segon grau $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Troba l'expressió analítica d'un polinomi de tercer grau $P(x)$ les úniques arrels del qual són $x = -2$, $x = 1$ i $x = 4$, sabent a més que la seva gràfica talla l'eix…
Troba l'expressió analítica d'un polinomi de tercer grau $P(x)$ les úniques arrels del qual són $x = -2$, $x = 1$ i $x = 4$, sabent a més que la seva gràfica talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, 16)$.
Aplicacions: optimitzar i intersecar
Dos usos molt freqüents de les funcions polinòmiques: trobar el màxim o mínim d'una quantitat modelada per una paràbola, i trobar on es tallen dues gràfiques (dues funcions que valen el mateix alhora).
L'altura en metres d'un dron d'observació en funció del temps en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula l'altura a la qual es troba el dron…
L'altura en metres d'un dron d'observació en funció del temps en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula l'altura a la qual es troba el dron en els instants $t = 1$ i $t = 3$.
Un agricultor disposa de $100$ metres de tanca per tancar un hort rectangular aprofitant la vorera recta d'un riu, per la qual cosa no necessita posar tanca en aquest…
Un agricultor disposa de $100$ metres de tanca per tancar un hort rectangular aprofitant la vorera recta d'un riu, per la qual cosa no necessita posar tanca en aquest costat. Expressa l'àrea de l'hort en funció de l'amplada $x$ perpendicular al riu i determina les dimensions que maximitzen aquesta àrea.
Es llança un projectil cap amunt de manera que la seva altura en metres respecte al temps en segons segueix la funció $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcula l'altura…
Es llança un projectil cap amunt de manera que la seva altura en metres respecte al temps en segons segueix la funció $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcula l'altura màxima que assoleix el projectil i l'instant de temps en què passa.
Torna al principi: Amb la funció del dron $h(t) = -5t^2+20t+2$, el vèrtex s'assoleix a $t_v = -\dfrac{20}{2\cdot(-5)} = 2$ s, aconseguint una altura màxima de $h(2) = -5\cdot 2^2 + 20\cdot 2 + 2 = 22$ metres.