Problemes
Ja coneixes cada peça per separat: covariància, $r$, les dues rectes de regressió. Els problemes d'examen gairebé mai donen directament el que necessites; donen trossos diferents (dues rectes, o $r$ i una variància, o només sumatoris) i cal combinar les fórmules en l'ordre correcte. Aquest apartat és aquest entrenament.
El mapa de fórmules i com recórrer-lo
En estudiar la relació estadística entre dues variables $X$ i $Y$, s'han obtingut les rectes de regressió següents: Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$ Recta de $X$…
En estudiar la relació estadística entre dues variables $X$ i $Y$, s'han obtingut les rectes de regressió següents:
Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$
Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,5y - 3$
Calcula les coordenades del centre de gravetat de la distribució bidimensional $(\bar{x}, \bar{y})$.
Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional venen donades per les equacions $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) i $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$ sobre…
Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional venen donades per les equacions $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) i $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$ sobre $Y$).
Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ i troba les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$.
Reconstruir dades a partir de sumatoris
Una empresa de tecnologia vol predir el nombre de vendes d'un nou telèfon intel·ligent ($Y$, en milers d'unitats) en funció de les mencions diàries en xarxes socials…
Una empresa de tecnologia vol predir el nombre de vendes d'un nou telèfon intel·ligent ($Y$, en milers d'unitats) en funció de les mencions diàries en xarxes socials ($X$, en milers). S'han recopilat les dades de $8$ llançaments anteriors, i s'han obtingut els sumatoris següents:
$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.
Calcula la covariància, el coeficient de correlació lineal i estima les vendes que s'obtindran si es registren $25$ mil mencions el dia del llançament.
S'ha mesurat el temps en hores ($X$) i la distància meitat/recorreguda en km ($Y$) per un ciclista en $5$ etapes, obtenint els següents parells de valors $(x_i, y_i)$:…
S'ha mesurat el temps en hores ($X$) i la distància meitat/recorreguda en km ($Y$) per un ciclista en $5$ etapes, obtenint els següents parells de valors $(x_i, y_i)$: $(2, 45)$, $(3, 65)$, $(4, 85)$, $(2, 40)$ i $(5, 110)$. Calcula la covariància d'aquesta distribució bidimensional.
Canvis de variable i transformacions afins
En un estudi estadístic sobre dues variables $X$ i $Y$, s'ha realitzat un canvi de variable tipificant o reescalant les dades originals de la forma…
En un estudi estadístic sobre dues variables $X$ i $Y$, s'ha realitzat un canvi de variable tipificant o reescalant les dades originals de la forma $U = \frac{X - 10}{5}$ i $V = \frac{Y - 20}{2}$. Se sap que la recta de regressió de $V$ sobre $U$ és $v = 0,8u + 1,5$.
Troba, desfent el canvi de variable, l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ en la seva forma explícita $y = mx + n$.
El coeficient de correlació entre els ingressos mensuals ($X$, en euros) i la despesa en oci ($Y$, en euros) d'un grup de persones és $r = 0,75$. Si decidim expressar…
El coeficient de correlació entre els ingressos mensuals ($X$, en euros) i la despesa en oci ($Y$, en euros) d'un grup de persones és $r = 0,75$. Si decidim expressar els ingressos en milers d'euros ($X' = \frac{X}{1000}$) i la despesa en oci incrementar-la en una quantitat fixa de $50$ euros a causa d'una subvenció ($Y' = Y + 50$), quin serà el nou coeficient de correlació lineal entre $X'$ i $Y'$? Justifica la teva resposta utilitzant les propietats de la covariància i les desviacions típiques.
Covariància conjunta de dos grups
S'han estudiat dos grups d'empleats d'una mateixa empresa multinacional per analitzar la relació entre els anys d'experiència ($X$) i el salari mensual ($Y$). En el Grup…
S'han estudiat dos grups d'empleats d'una mateixa empresa multinacional per analitzar la relació entre els anys d'experiència ($X$) i el salari mensual ($Y$).
En el Grup A, format per $10$ empleats, s'ha obtingut: $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, i una covariància $S_{xy,A} = 200$.
En el Grup B, format per $20$ empleats, s'ha obtingut: $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, i una covariància $S_{xy,B} = 350$.
Calcula la covariància total $S_{xy}$ si decidíssim agrupar els $30$ empleats en una única distribució bidimensional.
D'una mostra a una decisió: trajectes a l'institut
La pregunta és: «Necessitem organitzar una recollida de dades més àmplia abans de proposar rutes a peu?». La població són els estudiants del centre; cada estudiant és una unitat. Les variables són la distància al centre (km) i el temps de trajecte (min). Seleccionar només els qui arriben primer o responen voluntàriament pot esbiaixar els resultats.
Per a una investigació real, seleccioneu a l'atzar estudiants de tots els nivells, registreu també quants no responen i treballeu sense noms ni adreces. La mostra ha de permetre descriure la població buscada: cinc persones no basten per justificar una mesura per a tot el centre. Practicarem amb aquestes dades fictícies, no amb una enquesta real:
| Distància (km) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Temps (min) | 12 | 13 | 15 | 14 | 16 |
Decisió raonada: aquestes dades serveixen per assajar l'anàlisi; abans de proposar rutes necessitem una mostra més gran i dades sobre el mitjà de transport i la seguretat dels recorreguts. Lliureu una taula, un gràfic, els paràmetres amb unitats i una conclusió que indiqui a qui es refereix i què no es pot concloure. Compareu la conclusió si la mostra incloguees només usuaris d'autobús.
Comprova en el gràfic com les dades queden a banda i banda de la recta ajustada (eixos retallats):
Treballar en equip i revisar l'error
En grups, rotueu les funcions de selecció de mostra, càlcul, revisió i comunicació. Abans de veure els resultats, cada persona escriu la seva predicció. Si dos càlculs discrepen, reproduïu junts una fila i comproveu unitats i denominadors; critiqueu el procediment, no la persona. Davant d'un bloqueig, anoteu quina part enteneu, dividiu la tasca i demaneu una pista concreta. En acabar, cada integrant registra un error corregit, l'estratègia que l'ha ajudat i una aportació d'un altre company que ha canviat la seva conclusió. La revisió i la perseverança formen part del treball matemàtic.