Producte escalar
Ja saps sumar vectors i multiplicar-los per un nombre. Falta una operació: multiplicar dos vectors entre si per obtenir, aquesta vegada, un nombre (no un altre vector). Aquesta operació s'anomena producte escalar, i amb ella mesuraràs angles entre direccions i decidiràs si dos vectors són perpendiculars sense dibuixar res.
Dues fórmules per a la mateixa operació
Donats els punts del pla $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ i $C(0, 5)$, calcula el valor del producte escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Donats els punts del pla $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ i $C(0, 5)$, calcula el valor del producte escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Sabent que els mòduls de dos vectors són $|\vec{a}| = 4$ i $|\vec{b}| = 6$, i que l'angle que formen és de $60^\circ$, calcula el valor exacte del seu producte escalar…
Sabent que els mòduls de dos vectors són $|\vec{a}| = 4$ i $|\vec{b}| = 6$, i que l'angle que formen és de $60^\circ$, calcula el valor exacte del seu producte escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
L'angle entre dos vectors
Calcula l'angle que formen els vectors $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ i $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.
Calcula l'angle que formen els vectors $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ i $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.
Calcula el valor (o els valors) del paràmetre $k$ perquè l'angle format pels vectors $\vec{u} = (k, 3)$ i $\vec{v} = (1, -2)$ sigui exactament de $135^\circ$.
Calcula el valor (o els valors) del paràmetre $k$ perquè l'angle format pels vectors $\vec{u} = (k, 3)$ i $\vec{v} = (1, -2)$ sigui exactament de $135^\circ$.
Vectors ortogonals
Donats els vectors $\vec{u} = (3, -2)$ i $\vec{v} = (4, 5)$, calcula el seu producte escalar i determina si són ortogonals.
Donats els vectors $\vec{u} = (3, -2)$ i $\vec{v} = (4, 5)$, calcula el seu producte escalar i determina si són ortogonals.
Troba el valor del paràmetre $m$ perquè els vectors $\vec{p} = (m, -3)$ i $\vec{q} = (6, 2)$ siguin perpendiculars.
Troba el valor del paràmetre $m$ perquè els vectors $\vec{p} = (m, -3)$ i $\vec{q} = (6, 2)$ siguin perpendiculars.
Comprova, utilitzant exclusivament el producte escalar, si el triangle de vèrtexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(1, 12)$ és rectangle, acutangle o obtusangle. Identifica en…
Comprova, utilitzant exclusivament el producte escalar, si el triangle de vèrtexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(1, 12)$ és rectangle, acutangle o obtusangle. Identifica en quin vèrtex es troba l'angle recte si ho és.
Projecció d'un vector sobre un altre
En una obra de construcció, una grua arrossega un bloc de formigó aplicant una força constant representada pel vector $\vec{F} = (450, 600)$ expressada en newtons. El…
En una obra de construcció, una grua arrossega un bloc de formigó aplicant una força constant representada pel vector $\vec{F} = (450, 600)$ expressada en newtons. El bloc experimenta un desplaçament rectilini donat pel vector $\vec{d} = (12, 5)$ en metres. Sabent que el treball mecànic es defineix com a $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcula el treball realitzat per la grua i l'angle que formen la força aplicada i el desplaçament.
En el desenvolupament d'un motor físic per a un videojoc, un personatge es desplaça seguint la direcció i el sentit del vector $\vec{d} = (8, 4)$. La gravetat en aquest…
En el desenvolupament d'un motor físic per a un videojoc, un personatge es desplaça seguint la direcció i el sentit del vector $\vec{d} = (8, 4)$. La gravetat en aquest entorn virtual està definida pel vector $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calcula la projecció ortogonal del vector gravetat sobre la direcció del moviment del personatge.
Propietats del producte escalar
Utilitzant les propietats del producte escalar, desenvolupa i calcula el valor de l'expressió $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sabent que $|\vec{u}| = 5$…
Utilitzant les propietats del producte escalar, desenvolupa i calcula el valor de l'expressió $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sabent que $|\vec{u}| = 5$ i $|\vec{v}| = 3$.
Demostra, utilitzant exclusivament les propietats algebraicament del producte escalar, que les diagonals de qualsevol rombe són perpendiculars entre si. Nota: Pots…
Demostra, utilitzant exclusivament les propietats algebraicament del producte escalar, que les diagonals de qualsevol rombe són perpendiculars entre si.
Nota: Pots modelar els costats del rombe mitjançant dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ amb el mateix origen i el mateix mòdul ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Expressa les diagonals en funció de $\vec{u}$ i $\vec{v}$.