BATX1 tecno · Matemàtiques
Equacions · Inequacions i sistemes d'inequacions
Inequacions de segon grau
El mètode: arrels i taula de signes Casos sense dues arrels: la paràbola no talla l'eix, o el toca en un punt Sistemes i problemes amb paràboles Amb un paràmetre Resum
Una inequació de segon grau no es resol aïllant la incògnita: s'estudia . Trobes les arrels del polinomi, divideixes la recta en trams i decideixes el signe de cada tram. El resultat depèn de si la paràbola s'obre cap amunt o cap avall i de quantes arrels reals té.
El mètode: arrels i taula de signes
Passa-ho tot a un membre, de manera que l'altre sigui $0$.
Troba les arrels del polinomi (fórmula general o factorització).
Les arrels divideixen la recta en trams. En cada tram el polinomi té signe constant.
Prova un valor de cada tram (o fes servir el signe del coeficient $a$) i marca $+$ o $-$.
Escriu com a interval els trams el signe dels quals compleix la desigualtat.
Per què? Els polinomis són funcions contínues i les seves gràfiques no fan salts. Per això, per passar de positiu a negatiu (o al revés) han de creuar obligatòriament l'eix horitzontal en una arrel: entre dues arrels consecutives el signe no pot canviar.
Recta real amb les arrels 2 i 3 que marca el signe del trinomi en cada interval i les semirectes solució ressaltades.
x² − 5x + 6 ≥ 0
2
3
+ − +
solució: (−∞,2] ∪ [3,+∞)
Activa JavaScript per fer servir aquest interactiu.
Arrels de $x^2-5x+6=0$: $x=2$ i $x=3$.
Trams: $(-\infty,2)$, $(2,3)$, $(3,+\infty)$. Com que $a=1>0$, la paràbola s'obre cap amunt: és positiva fora de les arrels i negativa entre elles.
Volem $\geq0$ (positiu o zero): $(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$, amb les arrels incloses pel «igual».
Pas següent (1/3)
En inequacions com $x^2 \geq 3x$, no cancel·lis una $x$ a cada membre. Perdries l'arrel $x = 0$ i passaries per alt que, si $x$ fos negativa, el sentit de la desigualtat s'hauria d'invertir. Passa restant: $x^2 - 3x \geq 0$.
Si tens $x^2 > 9$, no facis $x > \sqrt{9}$. Et deixaries fora infinites solucions negatives, com $x = -5$, ja que $(-5)^2 = 25 > 9$. Passa sempre tot a un membre, factoritza $(x-3)(x+3) > 0$ i estudia els signes.
Per resoldre $x^2 \geq 16$, el Carles treu l'arrel quadrada a tots dos membres i escriu $x \geq 4$.
Mostra la resposta Oblida els valors negatius: per exemple, $(-5)^2 = 25 \geq 16$, de manera que els nombres menors que $-4$ també són solució. Ha de passar-ho tot a un membre ($x^2 - 16 \geq 0$) i estudiar els signes.
★☆☆ Sense començar
Resol la inequació de segon grau següent i expressa la solució en forma d'interval: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ Resol la inequació de segon grau següent i expressa la solució en forma d'interval:
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Resol la inequació incompleta: $2x^2 - 8x \le 0$ Resol la inequació incompleta:
$2x^2 - 8x \le 0$
Resoldre
Casos sense dues arrels: la paràbola no talla l'eix, o el toca en un punt
No sempre hi ha dues arrels diferents. Si el discriminant és negatiu, la paràbola no talla l'eix X: és sempre positiva o sempre negativa, segons el signe d'$a$. Si el discriminant és zero, hi ha una única arrel doble, i el signe és el mateix a banda i banda.
Paràbola de x² − 2x + 5, amb discriminant negatiu, situada sempre per sobre de l'eix X sense tallar-lo: la inequació x² − 2x + 5 > 0 té com a solució tots els reals.
x² − 2x + 5 > 0 (discriminant < 0)
sempre +
no talla l'eix
solució: ℝ (tots els reals)
A $x^2+6x+9=(x+3)^2\leq0$ l'única arrel és $x=-3$ i el polinomi és un quadrat: no és mai negatiu. Només val $0$ a $x=-3$. La solució és el conjunt $\{-3\}$, un únic punt, no un interval amb extrems diferents.
Busquem les arrels resolent $x^2 + 2x + 5 = 0$: el discriminant és $b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16 < 0$, de manera que no té arrels reals.
Com que la corba no talla l'eix X, el polinomi manté un únic signe en tota la recta. Com que $a = 1 > 0$, la paràbola s'obre cap amunt i és positiva en tot el seu domini.
Quin és el conjunt solució? Com que el polinomi és positiu per a qualsevol valor real de $x$, la inequació es compleix sempre: la solució és $\mathbb{R}$, és a dir, $(-\infty, +\infty)$.
Pas següent (1/3) ★☆☆ Sense començar
Troba el conjunt solució de la inequació: $x^2 + 6x + 9 \le 0$ Troba el conjunt solució de la inequació:
$x^2 + 6x + 9 \le 0$
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Indica el conjunt solució de la inequació, raonant la teva resposta: $x^2 - 2x + 5 > 0$ Indica el conjunt solució de la inequació, raonant la teva resposta:
$x^2 - 2x + 5 > 0$
Resoldre
Sistemes i problemes amb paràboles
Un sistema d'inequacions de segon grau es resol igual que un de lineal: cada inequació per separat, i després la intersecció. En els problemes, la inequació sol venir d'una funció quadràtica que modelitza alguna cosa física (l'altura d'un projectil, el benefici d'una fàbrica).
Activa JavaScript per fer servir aquest interactiu.
$h(t)=-5t^2+20t+2$. Quan supera estrictament els 17 m?
Plantegem $-5t^2+20t+2>17$, és a dir $-5t^2+20t-15>0$.
Dividim entre $-5$ (negatiu, canvia el sentit): $t^2-4t+3<0$. Arrels: $t=1$, $t=3$.
Com que $a=1>0$ és negatiu entre les arrels: solució $(1,3)$ segons.
Pas següent (1/4) ★★☆ Sense començar
L'altura $h$ en metres d'un projectil llançat verticalment cap amunt en funció del temps $t$ en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Planteja i… L'altura $h$ en metres d'un projectil llançat verticalment cap amunt en funció del temps $t$ en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Planteja i resol la inequació corresponent per determinar durant quin interval de temps el projectil es troba a una altura estrictament superior a $17$ metres.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Resol el sistema següent d'inequacions de segon grau amb una incògnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$ Resol el sistema següent d'inequacions de segon grau amb una incògnita:
$x^2 - 4 \le 0$
$x^2 - x \ge 0$
Resoldre
Amb un paràmetre
Quan la inequació porta una lletra ($k$, $m$...) a més de $x$, de vegades es demana «per a quins valors del paràmetre la inequació es compleix per a tot $x$ real». Això passa quan la paràbola no talla mai l'eix X: discriminant negatiu i signe d'$a$ adequat.
Es compleix si i només si $a>0$ i el discriminant $b^2-4ac<0$ (paràbola cap amunt que no toca mai l'eix). Per a $<0$ sempre, cal $a<0$ i discriminant $<0$.
Per què? Si el discriminant és negatiu, la paràbola no talla l'eix X en cap punt. Quan s'hi afegeix la condició $a > 0$, les branques apunten cap amunt i tota la corba queda suspesa a la zona positiva sense tocar mai el zero.
Activa JavaScript per fer servir aquest interactiu.
Identifiquem els coeficients: $a = 1$, $b = -6$ i $c = k$. Com que $a = 1 > 0$, les branques van cap amunt.
Perquè la paràbola no toqui ni talli l'eix X, el seu discriminant ha de ser estrictament negatiu: $\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 36 - 4k < 0$.
Resol la desigualtat per aïllar $k$: obtenim $36 < 4k$, és a dir, $k > 9$. Per tant, es compleix per a tot nombre real sempre que $k \in (9, +\infty)$.
Pas següent (1/3)
Perquè $ax^2 + bx + c > 0$ es compleixi a tot $\mathbb{R}$, per què és imprescindible exigir també $\Delta < 0$?
Mostra la resposta Si $\Delta \geq 0$, la paràbola tocaria o tallaria l'eix X, anul·lant-se o prenent valors negatius. Exigir $\Delta < 0$ garanteix que no tingui arrels reals i floti completament per sobre de l'eix.
★★☆ Sense començar
Resol el sistema d'inequacions següent i dona la solució final en forma d'interval: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$ Resol el sistema d'inequacions següent i dona la solució final en forma d'interval:
$x^2 - 3x - 10 < 0$
$2x + 5 \ge 1$
Resoldre
Resum
Es resol amb arrels + taula de signes, mai dividint entre $x$.
Si $a>0$, el polinomi és positiu fora de les arrels i negatiu entre elles (al revés si $a<0$).
Discriminant negatiu: la paràbola no talla l'eix, signe constant en tota la recta.
Arrel doble: el polinomi és un quadrat, no canvia mai de signe, només s'anul·la en aquest punt.
«Es compleix per a tot $x$» exigeix discriminant negatiu i el signe d'$a$ adequat.
← Anterior Inequacions lineals amb una incògnitaSegüent → Inequacions racionals