Teorema del residu
Per saber el residu de dividir $P(x)=x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$, ningú no fa aquesta divisió sencera: amb una sola substitució, $P(3)$, el problema es resol en segons. El teorema del residu és aquesta substitució, i a Batxillerat s'usa amb més desimboltura: diverses condicions alhora, exponents enormes, o divisors de grau $2$.
El teorema del residu
Calcula, sense efectuar la divisió, el residu de dividir el polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula, sense efectuar la divisió, el residu de dividir el polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
La posició d'un mòbil en línia recta en funció del temps $t$ (en segons) ve donada pel polinomi $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metres). Utilitza el teorema del…
La posició d'un mòbil en línia recta en funció del temps $t$ (en segons) ve donada pel polinomi $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metres). Utilitza el teorema del residu per calcular la posició del mòbil en l'instant $t = 3$ i explica la relació conceptual entre el valor trobat i la divisió polinòmica de $x(t)$ entre $t - 3$.
El teorema del factor: quan el residu és zero
Si el residu $P(a)$ surt $0$, la divisió és exacta: $(x-a)$ és un factor de $P(x)$ i $a$ és una arrel. És la mateixa idea que el teorema del residu, aplicada al cas particular en què el residu s'anul·la.
Determina si el polinomi $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ és divisible per $x + 4$ aplicant el teorema del residu.
Determina si el polinomi $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ és divisible per $x + 4$ aplicant el teorema del residu.
Comprova mitjançant el teorema del residu si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Comprova mitjançant el teorema del residu si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Trobar un paràmetre amb una condició de residu
Quan el polinomi té un coeficient desconegut i se'n coneix (o se n'exigeix) un residu concret, se substitueix igual, i la condició es converteix en una equació amb aquesta incògnita.
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sigui $4$.
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sigui $4$.
Troba el valor de $m$ sabent que la divisió del polinomi $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ és exacta.
Troba el valor de $m$ sabent que la divisió del polinomi $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ és exacta.
Sabent que el residu de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ és $-7$, calcula el valor del coeficient $a$.
Sabent que el residu de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ és $-7$, calcula el valor del coeficient $a$.
Diverses condicions alhora: sistemes d'equacions
Quan hi ha dos paràmetres desconeguts, calen dues condicions (dos residus, o un residu i una divisibilitat), i cadascuna dona una equació. Juntes formen un sistema que es resol com qualsevol altre.
Troba els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sigui divisible per $x - 2$ i deixi un residu de $-24$ en dividir-lo per…
Troba els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sigui divisible per $x - 2$ i deixi un residu de $-24$ en dividir-lo per $x + 2$.
Calcula el valor de $a$ i $b$ sabent que el polinomi $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ és divisible simultàniament per $(x - 1)$ i per $(x + 1)$.
Calcula el valor de $a$ i $b$ sabent que el polinomi $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ és divisible simultàniament per $(x - 1)$ i per $(x + 1)$.
Un polinomi $P(x)$ de tercer grau té com a coeficient principal $2$. Sabent que és divisible per $(x - 1)$ i per $(x + 2)$, i que en dividir-lo per $(x - 2)$ dona un…
Un polinomi $P(x)$ de tercer grau té com a coeficient principal $2$. Sabent que és divisible per $(x - 1)$ i per $(x + 2)$, i que en dividir-lo per $(x - 2)$ dona un residu de $16$, determina l'expressió completa del polinomi $P(x)$ en la seva forma desenvolupada.
Avaluar el «inavaluable»: exponents enormes
El teorema del residu no distingeix entre un polinomi de grau $3$ i un de grau $2024$: substituir $P(a)$ costa igual de poc, tot i que calgui manejar potències de $a$ amb cura (de vegades convé factoritzar abans de substituir, per no fer càlculs descomunals).
En un sistema de seguretat criptogràfic, una clau es genera avaluant un polinomi de grau molt alt. La clau correspon exactament al residu de dividir el polinomi…
En un sistema de seguretat criptogràfic, una clau es genera avaluant un polinomi de grau molt alt. La clau correspon exactament al residu de dividir el polinomi $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomi $x - 3$. Calcula el valor numèric d'aquesta clau de seguretat justificant la teva resposta.
Demostra, aplicant el teorema del residu, que el polinomi $P(x) = x^n - a^n$ és sempre divisible per $x - a$ per a quablessevol nombre natural $n$. Utilitza aquest…
Demostra, aplicant el teorema del residu, que el polinomi $P(x) = x^n - a^n$ és sempre divisible per $x - a$ per a quablessevol nombre natural $n$. Utilitza aquest resultat per deduir raonadament el residu de la divisió de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.
El residu en dividir per un polinomi de grau 2
El teorema del residu, en la versió bàsica, només dona el residu en dividir per $x-a$ (grau $1$), que és un nombre. Si el divisor és de grau $2$, el residu pot ser un polinomi de grau $1$, de la forma $mx+n$. Si se'n coneixen les dues arrels del divisor, avaluar $P(x)$ en cadascuna dona dues equacions per trobar $m$ i $n$.
Troba el residu de dividir el polinomi $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomi de segon grau $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$. Nota: Recorda que el residu de…
Troba el residu de dividir el polinomi $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomi de segon grau $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Nota: Recorda que el residu de dividir per un polinomi de grau 2 és, com a molt, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del residu avaluant estratègicament en les arrels del divisor.
Troba l'expressió desenvolupada d'un polinomi $P(x)$ de tercer grau tal que, en dividir-lo per $x+1$, $x-2$ i $x+3$, deixi en tots els casos el mateix residu igual a…
Troba l'expressió desenvolupada d'un polinomi $P(x)$ de tercer grau tal que, en dividir-lo per $x+1$, $x-2$ i $x+3$, deixi en tots els casos el mateix residu igual a $5$, i que en dividir-lo per $x-1$ deixi un residu de $-7$.
Nota: Pensa en la relació entre el polinomi auxiliar $P(x) - 5$ i el teorema del factor.