Inequacions amb valor absolut
El valor absolut $|x-a|$ mesura la distància entre $x$ i $a$ a la recta real, sense importar cap a quin costat. Aquesta idea geomètrica és la clau de tot l'apartat: converteix qualsevol inequació amb valor absolut en una (o dues) desigualtats normals.
El valor absolut com a distància
Resol la inequació $|x - 5| < 3$ i expressa la solució en forma d'interval.
Resol la inequació $|x - 5| < 3$ i expressa la solució en forma d'interval.
Troba tots els nombres reals $x$ que satisfan la desigualtat $|2x + 4| \geq 8$.
Troba tots els nombres reals $x$ que satisfan la desigualtat $|2x + 4| \geq 8$.
Casos sense solució o amb solució tota la recta
Com que $|x|\geq0$ sempre, hi ha inequacions amb valor absolut que no necessiten cap càlcul: es resolen només raonant sobre el signe.
Justifica si les inequacions següents tenen solució en el conjunt dels nombres reals i, en cas afirmatiu, troba-la: a) $|x + 4| \leq 0$ b) $|2x - 5| < -1$
Justifica si les inequacions següents tenen solució en el conjunt dels nombres reals i, en cas afirmatiu, troba-la:
- a) $|x + 4| \leq 0$
- b) $|2x - 5| < -1$
Toleràncies i marges d'error
El context més habitual del valor absolut a la vida real és una tolerància: una mesura que ha d'estar a prop d'un valor ideal, amb un marge d'error màxim.
En una fàbrica de components electrònics, la longitud ideal d'un xip és de $12,5$ mm. Per qüestions de control de qualitat, s'accepta un marge d'error màxim de $0,15$…
En una fàbrica de components electrònics, la longitud ideal d'un xip és de $12,5$ mm. Per qüestions de control de qualitat, s'accepta un marge d'error màxim de $0,15$ mm. Escriu una inequació amb valor absolut que modeli aquesta situació per a la longitud $L$ del xip i resol per trobar l'interval de longituds acceptables.
El pH d'una piscina s'ha de mantenir en un nivell òptim de $7,4$. Perquè l'aigua sigui apta per al bany, la diferència absoluta entre el pH actual i l'òptim no ha de…
El pH d'una piscina s'ha de mantenir en un nivell òptim de $7,4$. Perquè l'aigua sigui apta per al bany, la diferència absoluta entre el pH actual i l'òptim no ha de superar el $5\%$ del valor òptim. Planteja la inequació amb valor absolut corresponent i determina el rang de pH permès.
Valor absolut sobre expressions quadràtiques, racionals o amb un altre valor absolut
Quan dins del valor absolut hi ha una expressió quadràtica o racional, el mètode no canvia: es tradueix a una doble desigualtat o a dos trams, i després es resol aquesta inequació (que ja pot ser de segon grau o racional) amb les tècniques dels apartats anteriors. Si hi ha un valor absolut en els dos membres, s'eleven tots dos al quadrat o es distingeixen casos.
Resol la inequació quadràtica amb valor absolut $|x^2 - 5| < 4$.
Resol la inequació quadràtica amb valor absolut $|x^2 - 5| < 4$.
Resol la inequació racional amb valor absolut $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Resol la inequació racional amb valor absolut $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Troba el conjunt de solucions de la inequació $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$. La figura mostra la gràfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en blau) i la recta $y = 6$ (en verd).…
Troba el conjunt de solucions de la inequació $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.
La figura mostra la gràfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en blau) i la recta $y = 6$ (en verd). Pots fer-la servir per comprovar el resultat que obtinguis de manera algebraica.