Límit d'una successió
$\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots$ Cada terme és més petit que l'anterior, i s'acosta a $0$ tant com vulguis, encara que mai arribi a valer exactament $0$. Aquesta idea d'"acostar-se per sempre sense un límit de paciència" és el concepte més important d'aquest curs: el límit d'una successió. Amb ell donaràs un sentit rigorós a coses que a 3r i 4t d'ESO només intuïes, com la suma d'infinits termes o cap a quin valor s'estabilitza una població.
La intuïció: acostar-se sense arribar
Observa $a_n = \dfrac{n+1}{n}$: $2, \ 1{,}5, \ 1{,}333\ldots, \ 1{,}25, \ 1{,}2, \ldots$ Els termes s'acosten cada cop més a $1$, encara que cap val exactament $1$.
Canvia el terme general i observa cap a quin valor (si n'hi ha) s'acosten les barres en augmentar $n$:
Determina si la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ és convergent, divergent o oscil·lant. Si és convergent, indica quin és el seu…
Determina si la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ és convergent, divergent o oscil·lant. Si és convergent, indica quin és el seu límit.
La definició formal amb $\varepsilon$
"Acostar-se tant com es vulgui" es pot escriure amb rigor: per molt petita que sigui una distància $\varepsilon>0$ que triïs, els termes han d'acabar entrant i quedant-se dins d'aquesta distància de $L$.
A partir d'una certa posició $N$ (que depèn de com d'exigent sigui $\varepsilon$), tots els termes següents cauen dins de la franja $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ i ja no en tornen a sortir.
Donada la successió $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabem que el seu límit és $L = 4$. Utilitzant la definició formal de límit, esbrina a partir de quin terme $n$ es…
Donada la successió $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabem que el seu límit és $L = 4$. Utilitzant la definició formal de límit, esbrina a partir de quin terme $n$ es compleix que la distància entre els termes de la successió i el seu límit és estrictament menor que una mil·lèsima, és a dir, $|a_n - 4| < 0,001$.
Límits de successions racionals
El cas més freqüent és una fracció de polinomis. El resultat depèn de comparar el grau del numerador amb el del denominador.
Troba el límit de la successió racional donada per l'expressió: $c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
Troba el límit de la successió racional donada per l'expressió:
$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
Calcula el límit de la successió següent, identificant prèviament els graus del numerador i del denominador: $d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$
Calcula el límit de la successió següent, identificant prèviament els graus del numerador i del denominador:
$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$
La població de peixos d'una piscifactoria sostenible creix d'acord amb el model matemàtic $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, on $n$ representa el nombre de dies des de la…
La població de peixos d'una piscifactoria sostenible creix d'acord amb el model matemàtic $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, on $n$ representa el nombre de dies des de la introducció dels alevins. Determina la capacitat de càrrega de l'entorn, és a dir, el límit de la població de peixos a llarg termini.
Indeterminacions amb radicals: $\infty - \infty$
Quan apareix una resta de dues quantitats que tendeixen a infinit, multiplicar i dividir pel conjugat converteix la resta en una fracció.
Calcula el límit de la successió que involucra una arrel quadrada simple al numerador: $h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límit de la successió que involucra una arrel quadrada simple al numerador:
$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límit de la successió irracional següent, multiplicant i dividint per l'expressió conjugada per resoldre la indeterminació:…
Calcula el límit de la successió irracional següent, multiplicant i dividint per l'expressió conjugada per resoldre la indeterminació:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$
Convergent, divergent o oscil·lant
No totes les successions tenen límit. Hi ha tres comportaments possibles en fer $n\to\infty$.
Calcula el límit de la successió polinòmica següent quan $n$ tendeix a infinit: $b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$
Calcula el límit de la successió polinòmica següent quan $n$ tendeix a infinit:
$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$
La temperatura en graus Celsius d'una peça de metall que s'refreda en una habitació segueix la successió $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, on $n$ és el temps transcorregut…
La temperatura en graus Celsius d'una peça de metall que s'refreda en una habitació segueix la successió $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, on $n$ és el temps transcorregut en minuts. Calcula el límit de la successió $T_n$ quan $n \to \infty$ i interpreta el resultat en el context del problema.