Estimació de límits amb taules
Abans de calcular un límit amb àlgebra, convé saber estimar-lo amb nombres: donar valors a $x$ cada cop més a prop del punt que t'interessa i veure cap a on "apunten" els resultats. És una eina ràpida per comprovar un resultat, o per descobrir què està passant quan l'àlgebra encara no és evident.
Taules de valors: acostar-se pels dos costats
La idea és simple: tria valors de $x$ cada cop més propers al punt, per l'esquerra i per la dreta, i observa $f(x)$.
Observa la taula de valors d'una funció $f$ quan $x$ s'acosta a $3$ per l'esquerra i per la dreta: | $x$ | $2,9$ | $2,99$ | $2,999$ | $3,001$ | $3,01$ | $3,1$ |…
Observa la taula de valors d'una funció $f$ quan $x$ s'acosta a $3$ per l'esquerra i per la dreta:
| $x$ | $2,9$ | $2,99$ | $2,999$ | $3,001$ | $3,01$ | $3,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4,80$ | $4,98$ | $4,998$ | $5,002$ | $5,02$ | $5,20$ |
Estima el valor de $\lim_{x \to 3} f(x)$ i explica què has observat a la taula per donar la teva resposta.
La funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no està definida a $x = 2$. La taula mostra els seus valors a prop d'aquest punt: | $x$ | $1,9$ | $1,99$ | $1,999$ | $2,001$ |…
La funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no està definida a $x = 2$. La taula mostra els seus valors a prop d'aquest punt:
| $x$ | $1,9$ | $1,99$ | $1,999$ | $2,001$ | $2,01$ | $2,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3,9$ | $3,99$ | $3,999$ | $4,001$ | $4,01$ | $4,1$ |
- a) Estima $\lim_{x \to 2} f(x)$ a partir de la taula.
- b) Confirma el resultat algebraicament simplificant l'expressió de $f$.
- c) Quin és el valor de $f(2)$? Explica la diferència entre aquest fet i el límit calculat.
Límits que no es "veuen" en substituir: el forat
Moltes funcions interessants no estan definides just en el punt que t'interessa, però això no impedeix que hi tinguin límit.
La taula mostra valors de $f(x) = \frac{\sen x}{x}$ (amb $x$ en radians) al voltant de $x = 0$, on la funció no està definida, com suggereix la figura: | $x$ | $-0,2$ |…
La taula mostra valors de $f(x) = \frac{\sen x}{x}$ (amb $x$ en radians) al voltant de $x = 0$, on la funció no està definida, com suggereix la figura:
| $x$ | $-0,2$ | $-0,1$ | $-0,01$ | $0,01$ | $0,1$ | $0,2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $0,9933$ | $0,9983$ | $1,0000$ | $1,0000$ | $0,9983$ | $0,9933$ |
Estima $\lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x}$ i explica per què té sentit parlar de límit encara que $f(0)$ no existeixi.
Compte amb les taules: infinits i oscil·lacions
Les taules són útils, però poden enganyar si no tries bé els valors o si la funció no es comporta "amb calma" a prop del punt.
Observa la taula de valors de $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$ a prop de $x = 1$: | $x$ | $0,9$ | $0,99$ | $0,999$ | $1,001$ | $1,01$ | $1,1$ | |---|---|---|---|---|---|---|…
Observa la taula de valors de $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$ a prop de $x = 1$:
| $x$ | $0,9$ | $0,99$ | $0,999$ | $1,001$ | $1,01$ | $1,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $100$ | $10.000$ | $1.000.000$ | $1.000.000$ | $10.000$ | $100$ |
- a) Descriu el comportament de $f(x)$ quan $x \to 1$.
- b) Existeix el límit de $f$ a $x = 1$? Raona la teva resposta distingint entre «límit infinit» i «no existeix límit finit».
- c) Què representa la recta $x = 1$ per a la gràfica de $f$?
Per estimar $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$, un alumne calcula només els valors $f(0,1) = 1$, $f(0,01) = 1$ i $f(0,001) = 1$, i conclou: «el límit és $1$». Explica…
Per estimar $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$, un alumne calcula només els valors $f(0,1) = 1$, $f(0,01) = 1$ i $f(0,001) = 1$, i conclou: «el límit és $1$». Explica l'error del seu procediment, calcula els valors que hauria d'haver mirat i enuncia la conclusió correcta sobre l'existència d'aquest límit.
La taula mostra valors de $f(x) = \sen\left(\frac{1}{x}\right)$ (en radians) cada cop més pròxims a $0$: | $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ |…
La taula mostra valors de $f(x) = \sen\left(\frac{1}{x}\right)$ (en radians) cada cop més pròxims a $0$:
| $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-0,5440$ | $-0,5064$ | $0,8269$ | $-0,3056$ |
- a) Un alumne afirma: «com que els valors de $x$ s'acosten a $0$, el límit existeix i val aproximadament $-0,13$ (la mitjana de la taula)». Critica el seu raonament.
- b) Calcula $f\left(\frac{1}{k\pi}\right)$ per a $k = 1, 2, 3, \ldots$ i raona, triant successions de valors de $x$ adequades, que el límit no existeix.
El límit que defineix el nombre $e$
Algunes taules apunten a un nombre que ja coneixes de les successions: el nombre $e$.
La taula mostra valors de $f(x) = (1 + x)^{1/x}$ a prop de $x = 0$: | $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ | |---|---|---|---|---| | $f(x)$ | $2,5937$ | $2,7048$ |…
La taula mostra valors de $f(x) = (1 + x)^{1/x}$ a prop de $x = 0$:
| $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $2,5937$ | $2,7048$ | $2,7169$ | $2,7181$ |
- a) Estima el límit amb tres xifres decimals.
- b) A quin nombre conegut s'aproxima aquest límit? Escriu-lo amb la seva lletra habitual.
- c) Explica per què no n'hi ha prou de calcular $f(0)$ per respondre.
Es vol estimar $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ amb tres xifres decimals fent servir només una calculadora bàsica. a) Dissenya la taula de valors que utilitzaries:…
Es vol estimar $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ amb tres xifres decimals fent servir només una calculadora bàsica.
- a) Dissenya la taula de valors que utilitzaries: justifica quins valors de $x$ tries i per què convé acostar-s'hi per tots dos costats.
- b) Construeix la taula i dona l'estimació del límit.
- c) Comprova que la teva estimació és coherent amb el fet que aquest límit és, per definició, la derivada de $e^x$ a $x = 0$.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.