Discussió de sistemes amb un paràmetre

Atès el següent sistema esglaonat, discuteix les seves solucions en funció del paràmetre $p$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $

Aplica el mètode de Gauss per discutir el següent sistema en funció del paràmetre $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $

Determina el valor de $c$ perquè el següent sistema homogeni tingui infinites solucions:

$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $

En un experiment químic es mesclen tres substàncies. Les condicions d'equilibri de l'experiment depenen d'un catalitzador la concentració del qual és $c$. El model matemàtic és el següent sistema homogeni:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $

Determina per a quins valors de la concentració $c$ el sistema té solucions diferents de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).

Tres carrers rectes d'un nou barri venen donats per les equacions de tres rectes. Determina el valor del paràmetre $a$ perquè els tres carrers passin pel mateix punt exacte (és a dir, que el sistema tingui solució única i conflueixin en una única plaça).

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $

Discuteix el següent sistema en funció del paràmetre $k$ i indica per a quins valors el sistema representa dues rectes secants, paral·leles o coincidents. Resol-lo per a $k = 0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $

Discuteix el següent sistema d'equacions lineals en funció del paràmetre $k$, utilitzant el mètode de Gauss. Per al cas en què sigui compatible indeterminat, troba la solució general expressada en funció d'un paràmetre $\lambda$.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $

En l'anàlisi d'una xarxa de trànsit urbà, el flux de vehicles per hora en tres interseccions principals es modelitza mitjançant un sistema d'equacions. A causa d'unes obres, una de les vies té una capacitat variable $m$. El sistema que regeix el flux és:

$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $

Discuteix el flux de la xarxa (compatibilitat del sistema) per a tots els valors reals de $m$.

En un estudi de dinàmica de poblacions, la interacció entre tres espècies (depredador, presa i planta) en estat d'equilibri es descriu amb el següent sistema, on $\beta$ representa la taxa de consum de la presa pel depredador:

$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $

Determina els valors de $\beta$ per als quals l'ecosistema té un únic punt d'equilibri, infinits o cap.