Moviments en el pla

Un dron de repartiment es troba en la posició $P(3, -2)$, expressada en quilòmetres respecte a la seva base. El controlador li envia una instrucció per fer un desplaçament rectilini definit pel vector de traslació $\vec{v} = (-5, 4)$. Determina les coordenades de la nova posició del dron.

Una màquina de tall per làser es desplaça en línia recta sobre una planxa de metall des del punt inicial $A(-1, 5)$ fins al punt final $B(4, 2)$. Calcula el vector de traslació que descriu exactament aquest moviment.

La trajectòria d'una cinta transportadora segueix la recta d'equació $y = 2x - 1$. Per necessitats d'espai a la fàbrica, es trasllada tota la cinta $3$ unitats cap a l'esquerra i $2$ unitats cap amunt. Escriu l'equació general de la nova recta que defineix la trajectòria traslladada.

En el disseny d'un jardí simètric, es vol col·locar una font al punt $F'$ que sigui el simètric d'una estàtua situada a $E(4, 7)$ respecte a un pal central ubicat a l'origen de coordenades $O(0, 0)$. Troba les coordenades on s'ha d'instal·lar la font.

Dos satèl·lits de comunicacions, $S_1$ i $S_2$, orbiten de manera simètrica respecte a una estació espacial central. Si $S_1$ està en la posició $(8, -3)$ i l'estació espacial es troba a $(2, 1)$, calcula les coordenades de la posició del satèl·lit $S_2$.

Un arquitecte dissenya un pont l'arc del qual té un punt d'ancoratge crític a $A(-3, 5)$. Per mantenir la simetria visual en un renderitzat 3D respecte a la superfície de l'aigua, que coincideix amb l'eix d'abscisses ($y=0$), necessita ubicar el reflex virtual d'aquest punt sota l'aigua. Determina les coordenades d'aquest punt simètric.

En un programa de disseny gràfic, s'ha traçat un polígon amb un vèrtex clau al punt $V(5, -2)$. S'aplica una simetria axial respecte a la bisectriu del primer i tercer quadrants (recta $y=x$). Determina analíticament les coordenades del vèrtex simètric $V'$.

Un raig làser s'emet des d'un projector situat al punt $P(-2, 4)$. Al seu davant hi ha un mirall pla col·locat exactament sobre la recta d'equació $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcula les coordenades del punt virtual $P'$ (simètric de $P$ respecte al mirall) del qual sembla provenir la llum reflectida.

Dos pobles, $A(1, 5)$ i $B(7, 2)$, necessiten connectar-se a una canonada principal d'aigua que discorre en línia recta al llarg de l'eix d'abscisses ($y=0$). Es vol construir una estació de bombeig $P$ sobre la canonada principal de manera que la longitud total dels tubs secundaris ($AP + PB$) sigui mínima. Utilitzant el concepte de simetria axial, calcula les coordenades exactes del punt $P$ i la longitud mínima total de la canonada.

Una antena de telefonia mòbil proporciona cobertura en una zona circular l'equació cartesiana de la qual és $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Per problemes d'interferències amb un edifici proper, la companyia decideix traslladar l'antena (el centre de la circumferència) segons el vector $\vec{v} = (-3, 5)$. Determina l'equació general de la nova zona de cobertura.

Una parcel·la agrícola té forma de triangle amb vèrtexs a $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 5)$. L'ajuntament expropia la parcel·la i, a canvi, lliura al propietari una altra parcel·la obtinguda en aplicar al triangle original una simetria axial respecte a la recta vertical $x = 6$. Calcula els vèrtexs de la nova parcel·la i demostra analíticament que l'àrea de la parcel·la no ha variat.

En l'animació d'un videojoc, el centre geomètric d'un personatge situat a $A(1, 3)$ pateix una traslació de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida immediatament d'una simetria central respecte al punt $C(2, 0)$. Troba la posició final del personatge i comprova analíticament si el resultat seria el mateix aplicant primer la simetria i després la traslació.

Una isometria en el pla transforma el punt $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ i el punt $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$.

1. a) Demostra que la distància entre $A$ i $B$ és la mateixa que entre $A'$ i $B'$.
2. b) Determina si el moviment descrit correspon a una traslació pura o a una simetria central, justificant analíticament la resposta i trobant el vector de traslació o el centre de simetria corresponent.