Derivada d'un polinomi
A 4t d'ESO ja vas derivar polinomis senzills amb la regla de la potència. Ara aquest càlcul es converteix en eina de treball: derivaràs amb rapidesa i seguretat polinomis de qualsevol grau, calcularàs derivades segones i terceres, i les faràs servir per resoldre problemes reals de física, economia i geometria. La velocitat i la traça en aquesta secció són la base de tot el bloc de càlcul.
Regla de la potència i linealitat
Calcula la funció derivada de la funció polinòmica següent: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.
Calcula la funció derivada de la funció polinòmica següent: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.
Calcula la derivada de la funció $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realitzant primer el producte dels polinomis.
Calcula la derivada de la funció $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realitzant primer el producte dels polinomis.
Valor de la derivada en un punt
Un cop obtinguda la funció derivada $f'(x)$, per conèixer el pendent (o el ritme de canvi) en un punt concret n'hi ha prou de substituir-hi l'abscissa a $f'(x)$. No cal derivar de nou cada vegada.
Troba el valor de la derivada de la funció $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ en el punt d'abscissa $x = -1$.
Troba el valor de la derivada de la funció $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ en el punt d'abscissa $x = -1$.
El perfil d'un cable d'un pont penjant s'aproxima mitjançant la paràbola $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, on $x$ i $y$ es mesuren en metres. Calcula el pendent del cable en el…
El perfil d'un cable d'un pont penjant s'aproxima mitjançant la paràbola $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, on $x$ i $y$ es mesuren en metres. Calcula el pendent del cable en el punt situat a $40$ metres de l'origen.
Punts singulars: $f'(x)=0$
Determina els punts singulars (aquells on la derivada s'anul·la) de la funció quadràtica $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.
Determina els punts singulars (aquells on la derivada s'anul·la) de la funció quadràtica $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.
Troba les coordenades dels punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en els quals la recta tangent és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant.
Troba les coordenades dels punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en els quals la recta tangent és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant.
Derivades successives
Calcula la segona derivada, $f''(x)$, de la funció polinòmica $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.
Calcula la segona derivada, $f''(x)$, de la funció polinòmica $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.
Aplicacions: tangents i optimització amb polinomis
Les tres idees anteriors (derivar, avaluar en un punt, igualar a zero) són les que resolen gairebé tots els problemes d'aquest bloc: pendents de tangents, costos marginals, velocitats instantànies i valors òptims.
El cost de producció, en euros, de fabricar $x$ unitats d'un producte artesanal ve donat per $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Troba la funció de cost marginal, $C'(x)$.
El cost de producció, en euros, de fabricar $x$ unitats d'un producte artesanal ve donat per $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Troba la funció de cost marginal, $C'(x)$.
El nombre d'usuaris registrats en una aplicació de productivitat, en milers, evoluciona segons la funció $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, on $t$ és el temps en mesos…
El nombre d'usuaris registrats en una aplicació de productivitat, en milers, evoluciona segons la funció $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. Determina la taxa de creixement del nombre d'usuaris en l'instant $t = 5$ mesos i indica si en aquest moment el ritme de creixement està augmentant o disminuint.
Una empresa fabrica i ven $x$ unitats d'un article tecnològic. La funció d'ingressos ve donada per $I(x) = 1200x - 2x^2$ i la funció de costos totals és…
Una empresa fabrica i ven $x$ unitats d'un article tecnològic. La funció d'ingressos ve donada per $I(x) = 1200x - 2x^2$ i la funció de costos totals és $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Determina el nombre d'unitats que s'han de produir per maximitzar el benefici i calcula aquest benefici màxim.