Factoritzar un polinomi és, per a una equació de grau alt, l'equivalent a desmuntar un moble per les seves peces: $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ diu d'un cop d'ull que $P(x)=0$ exactament quan $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Aquest apartat reuneix totes les tècniques —factor comú, identitats, Ruffini, arrels racionals— en un únic procediment sistemàtic, i afegeix els casos que 4t d'ESO no cobria: multiplicitats, arrels fraccionàries i factors de grau $2$ sense arrels reals.
Factoritzar sempre comença igual: treure tot el factor comú possible i, si el que queda és una identitat notable o una equació de segon grau, resoldre-la.
Practica★☆☆Sense començar
Treu factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar al màxim el polinomi següent: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Treu factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar al màxim el polinomi següent:
Comprova, utilitzant el teorema del residu, si $x = -1$ és arrel del polinomi $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En cas afirmatiu, treu el factor corresponent.
Comprova, utilitzant el teorema del residu, si $x = -1$ és arrel del polinomi $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En cas afirmatiu, treu el factor corresponent.
Factoritzar «completament» significa repetir factor comú, identitats i Ruffini fins que tots els factors siguin de grau $1$ (o de grau $2$ sense arrels reals). Si una arrel es repeteix, és una arrel múltiple, i la seva multiplicitat és el nombre de vegades que es repeteix.
Practica★☆☆Sense començar
Indica quines són les arrels del polinomi $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ i les seves multiplicitats respectives. Justifica per què aquest polinomi no té més arrels reals.
Indica quines són les arrels del polinomi $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ i les seves multiplicitats respectives. Justifica per què aquest polinomi no té més arrels reals.
Un polinomi biquadrat només té termes de grau $4$, $2$ i $0$ ($ax^4+bx^2+c$): es factoritza com si fos de segon grau, canviant $x^2$ per una variable auxiliar. I una diferència de quadrats, si torna a ser-ho després del primer pas, es pot aplicar dues vegades.
Practica★☆☆Sense començar
Escriu en forma factoritzada el polinomi $P(x) = x^4 - 81$ aplicant la identitat de la diferència de quadrats de manera successiva.
Escriu en forma factoritzada el polinomi $P(x) = x^4 - 81$ aplicant la identitat de la diferència de quadrats de manera successiva.
Factoritza el polinomi $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilitzant identitats notables i treient factors comuns, sense necessitat de desenvolupar tot el polinomi primer.
Factoritza el polinomi $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilitzant identitats notables i treient factors comuns, sense necessitat de desenvolupar tot el polinomi primer.
Arrels racionals: quan el coeficient principal no és 1
Si el coeficient principal de $P(x)$ no és $1$, a més dels divisors del terme independent cal provar fraccions: candidats $\frac{p}{q}$, amb $p$ divisor del terme independent i $q$ divisor del coeficient principal.
Practica★★☆Sense començar
Factoritza el polinomi $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Tingues en compte que algunes de les seves arrels poden ser nombres fraccionaris.
Factoritza el polinomi $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Tingues en compte que algunes de les seves arrels poden ser nombres fraccionaris.
En un estudi d'economia, la corba de benefici marginal d'una empresa tecnològica s'ajusta al polinomi $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, on $x$ representa la…
En un estudi d'economia, la corba de benefici marginal d'una empresa tecnològica s'ajusta al polinomi $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, on $x$ representa la inversió en R+D en milions d'euros. Factoritza el polinomi per trobar els punts d'equilibri exactes (incloent-hi arrels fraccionàries).
No tot polinomi es descompon en factors de grau $1$: quan queda un factor de grau $2$ amb discriminant negatiu, és irreductible en els nombres reals i aquí s'atura la factorització. De vegades, sumar i restar un terme auxiliar permet veure dos factors de grau $2$ on a primera vista no se'n veu cap.
Practica★★★Sense començar
Demostra que el polinomi $P(x) = x^4 + 4$ no té arrels reals. A continuació, factoritza'l com el producte de dos polinomis de segon grau. Pista: Suma i resta $4x^2$ a…
Demostra que el polinomi $P(x) = x^4 + 4$ no té arrels reals. A continuació, factoritza'l com el producte de dos polinomis de segon grau. Pista: Suma i resta $4x^2$ a l'expressió per forçar l'aparició d'una diferència de quadrats.
Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica clarament quines són les seves arrels reals i la multiplicitat de cadascuna…
Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica clarament quines són les seves arrels reals i la multiplicitat de cadascuna d'elles.
Quan un polinomi té un paràmetre i una condició de divisibilitat, primer es troba el paràmetre (com a l'apartat de Ruffini) i després es factoritza ja amb tots els coeficients coneguts.
Practica★★☆Sense començar
Determina el valor del paràmetre $m$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sigui divisible pel binomi $x - 2$. Un cop trobat el valor de $m$, factoritza…
Determina el valor del paràmetre $m$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sigui divisible pel binomi $x - 2$. Un cop trobat el valor de $m$, factoritza completament el polinomi en el conjunt dels nombres reals.
El volum d'una caixa rectangular en funció de la seva longitud $x$ ve donat per l'expressió polinòmica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoritza $V(x)$ per trobar les…
El volum d'una caixa rectangular en funció de la seva longitud $x$ ve donat per l'expressió polinòmica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoritza $V(x)$ per trobar les expressions algebraiques més simples que representen les tres dimensions de la caixa.