Sucesión decreciente
Un metal se enfría, un coche se devalúa, una pelota rebota cada vez menos. En estos procesos cada término es menor que el anterior. Igual que con el crecimiento, aquí vas a demostrarlo algebraicamente, no solo observarlo.
El criterio de la diferencia
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo…
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo número natural $n$.
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es…
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es obligatoriamente una sucesión decreciente".
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera…
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera algebraicamente y llega a una afirmación que sea cierta para todo $n \ge 1$.
El criterio del cociente
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es…
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es estrictamente decreciente.
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el…
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el criterio del cociente, determina analíticamente a partir de qué valor exacto de $n$ la sucesión se vuelve estrictamente decreciente.
Decreciente a partir de un término
Algunas sucesiones no son decrecientes desde el principio: suben un tiempo y después empiezan a bajar para siempre. Hay que localizar a partir de qué posición cambia el comportamiento.
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de…
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de $n$ la sucesión comienza a ser estrictamente decreciente.
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada…
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada término y demuestra paso a paso que $(e_n)$ sí es una sucesión estrictamente decreciente.
Sucesiones con radicales y acotación
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es estrictamente decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes…
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es estrictamente decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar si $c_{n+1} < c_n$.
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente,…
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente, determina a partir de qué valor de $n$ la diferencia entre dos términos consecutivos es menor en valor absoluto que $10^{-4}$.