Exercicis: Successió decreixent

Donades les successions següents definides pel seu terme general, identifica quines són estrictament decreixents calculant empíricament els seus quatre primers termes: $a_n = 5 - 2n$, $b_n = n^2 - 4$, $c_n = \frac{1}{2^n}$, $d_n = (-1)^n \cdot n$.

Demostra, analitzant el signe de la diferència $a_{n+1} - a_n$, que la successió polinòmica de terme general $a_n = -4n + 7$ és estrictament decreixent per a tot nombre natural $n$.

Comprova si la successió racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ és decreixent. Per fer-ho, planteja l'expressió $b_{n+1} - b_n$ i determina si el resultat és menor o igual a zero per a qualsevol $n \ge 1$.

Utilitza el criteri del quocient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ per demostrar que la successió geomètrica de termes positius $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ és estrictament decreixent.

Una successió ve donada en forma recurrent pel primer terme $a_1 = 15$ i la llei de formació $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemàticament per què aquesta successió és estrictament decreixent per a tot $n \ge 1$.

Calcula els cinc primers termes de la successió quadràtica $c_n = -n^2 + 6n$. És una successió decreixent des del primer terme? Determina a partir de quin valor de $n$ la successió comença a ser estrictament decreixent.

Indica si l'afirmació següent és vertadera o falsa i justifica la teva resposta amb un contraexemple numèric: "Tota successió els termes de la qual són tots negatius és obligatòriament una successió decreixent".

Un alpinista baixa per una muntanya a un ritme constant. La seva altitud en metres al final de cada hora $n$ de trajecte ve modelitzada per la successió $h_n = 3500 - 150n$. Demostra analíticament que la successió d'altituds $(h_n)$ és estrictament decreixent.

En Marcos afirma a classe de Matemàtiques: «Com que tots els termes de la successió $a_n = -\dfrac{4}{n+2}$ són nombres negatius per a qualsevol valor natural $n \ge 1$, la successió és necessàriament estrictament decreixent».

1. a) Identifica l'error conceptual d'en Marcos i posa un contraexemple numèric calculant els seus tres primers termes ($a_1$, $a_2$ i $a_3$) per rebatre la seva afirmació.
2. b) Demostra formalment quina és la veritable monotonia de la successió calculant la diferència $a_{n+1} - a_n$.
3. c) Explica per què en Marcos tampoc hauria pogut recórrer al criteri del quocient $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ per analitzar aquesta successió.

Per estudiar la monotonia d'una successió disposes de dues eines principals: l'estudi del signe de la diferència $a_{n+1} - a_n$ i el criteri del quocient $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$. Donades les successions $b_n = \dfrac{3n+8}{n+2}$ i $c_n = \dfrac{4^n}{n!}$:

1. a) Tria quin dels dos mètodes és més adequat per a la successió $b_n$, justifica la teva elecció i demostra que és estrictament decreixent per a tot $n \ge 1$.
2. b) Justifica per què per a la successió $c_n$ el mètode del quocient és clarament més convenient que el de la diferència, comprova si compleix el requisit sobre el signe dels seus termes per poder aplicar-lo i demostra que és estrictament decreixent a partir d'un determinat terme, indicant quin és el primer nombre natural $n$ a partir del qual decreix.

Demostra que la successió de terme general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ és estrictament decreixent. Per fer-ho, planteja la desigualtat $a_{n+1} < a_n$, opera algebraicament i arriba a una afirmació que sigui certa per a tot $n \ge 1$.

Una màquina industrial perd cada any un $12\%$ del seu valor respecte de l'any immediatament anterior. Si el seu valor inicial de compra és de $45000$ euros, troba l'expressió del terme general $V_n$ que indica el seu valor després de $n$ anys i demostra matemàticament que la successió $(V_n)$ és decreixent.

Considera la successió que combina una potència i un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula els seus primers sis termes i observa el seu comportament. Utilitzant el criteri del quocient, determina analíticament a partir de quin valor exacte de $n$ la successió es torna estrictament decreixent.

Demostra que la successió construïda mitjançant radicals $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ és estrictament decreixent. Multiplica i divideix per l'expressió conjugada abans d'analitzar si $c_{n+1} < c_n$.

Es deixa caure una pilota de goma des d'una altura inicial de $5$ metres. En cada rebot successiu, la pilota arriba a una altura igual als $\frac{3}{4}$ de l'altura màxima del rebot anterior. Sigui $h_n$ l'altura màxima assolida després del $n$-èsim impacte amb terra. Escriu el terme general de la successió i demostra que és estrictament decreixent.

Donada la successió polinòmica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunt de valors que ha de prendre el paràmetre real $k$ per garantir que la successió sigui estrictament decreixent per a tot $n \ge 1$.

La temperatura en graus Celsius d'una peça de metall que s'refreda en una sala a temperatura ambient ve donada per la successió $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, on $n$ representa el temps transcorregut en minuts. Demostra que $(T_n)$ és una successió decreixent i calcula algebraicament l'expressió del descens de temperatura exacte que té lloc entre el minut $n$ i el minut $n+1$.

Estudia la monotonia de la successió $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. És una successió decreixent? Defineix una nova successió $e_n = |d_n|$ prenent el valor absolut de cada terme i demostra pas a pas que $(e_n)$ sí que és una successió estrictament decreixent.

El Ministeri per a la Transició Ecològica i el Repte Demogràfic (MITECO) monitora periòdicament la reserva hídrica dels embassaments a Espanya. En una conca del sud peninsular sotmesa a un període sec estival, el volum d'aigua emmagatzemada (en hectòmetres cúbics, $\text{hm}^3$) al llarg de les setmanes $n \ge 1$ transcorregudes des de l'1 de juny s'ajusta al model:

1. a) Demostra formalment, mitjançant l'estudi algebraic de la diferència $V_{n+1} - V_n$, que la reserva hídrica decreix estrictament setmana rere setmana.
2. b) Determina si la successió està fitada inferiorment i superiorment. Indica quin és el volum màxim inicial estimat ($V_1$) i raona si existeix un llindar mínim d'aigua del qual l'embassament mai no descendiria segons aquest model.
3. c) Calcula la quantitat d'aigua perduda entre la setmana 1 i la setmana 2 ($V_1 - V_2$), i compara-la amb la perduda entre la setmana 2 i la setmana 3 ($V_2 - V_3$). El ritme de pèrdua setmanal s'accelera o s'alenteix a mesura que passa el temps?

Considera la successió de terme general $a_n = \dfrac{12n}{n^2 + 9}$ per a $n \ge 1$.

1. a) Estima: abans de fer càlculs algebraics formals, calcula els quatre primers termes ($a_1, a_2, a_3, a_4$) i conjectura a partir de quin valor natural de $n$ la successió comença a ser estrictament decreixent, identificant quin sembla ser el terme que assoleix el valor màxim.
2. b) Comprova: planteja formalment la inequació $a_{n+1} - a_n < 0$, simplifica la fracció resultant i resol la inequació en el conjunt dels nombres naturals per trobar amb total rigor el primer terme a partir del qual la successió és estrictament decreixent.
3. c) Valora si la teva estimació inicial ha coincidit exactament amb el resultat algebraic i explica de manera raonada per què el grau del denominador s'acaba imposant al del numerador per a valors prou grans de $n$.

Troba la condició matemàtica rigorosa que ha de complir el paràmetre real $p$ perquè la successió racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sigui estrictament decreixent en tot el seu domini natural $n \ge 1$.

Siguin $(u_n)$ i $(v_n)$ dues successions de nombres reals estrictament positius. Si es sap que $(u_n)$ és estrictament decreixent i $(v_n)$ també és estrictament decreixent, demostra algebraicament que la successió producte definida per $w_n = u_n \cdot v_n$ és, al seu torn, estrictament decreixent.

Considera la successió de sumes parcials $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sigui $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la successió que mesura la distància entre $S_n$ i el límit teòric de la sèrie infinita. Demostra que $(E_n)$ és una successió estrictament decreixent i expressa-la de forma tancada en funció de $n$.

En un reactor químic, la concentració $C_n$ d'un isòtop radioactiu després de $n$ hores ve donada per la relació de recurrència $C_1 = 100$ i $C_{n+1} = 0,5 \cdot C_n + 10$. Demostra mitjançant el principi d'inducció matemàtica que $C_{n+1} < C_n$ per a tot $n \ge 1$, concloent que la seqüència de concentracions és estrictament decreixent.

El mètode babilònic per aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una successió definida per $x_1 = 2$ i la recurrència $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)$. Sabent que tots els termes de la successió compleixen que $x_n > \sqrt{3}$, demostra analíticament que $x_{n+1} < x_n$ per a tot $n \ge 1$, provant així que la successió d'aproximacions és estrictament decreixent.

Estudia el creixement o decreixement de la successió logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuació, demostra que la successió de les sumes parcials $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ és estrictament decreixent i troba una expressió algebraica simplificada per a $S_n$ aplicant les propietats dels logaritmes.

Considera la successió definida per $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demostra que està acotada inferiorment per $1$ i que és estrictament decreixent. Finalment, determina a partir de quin valor de $n$ la diferència entre dos termes consecutius és menor en valor absolut que $10^{-4}$.

Sigui la successió definida per $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabent que es compleix la desigualtat $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ per a qualsevol nombre natural $n$, demostra mitjançant el criteri del quocient que $(a_n)$ és una successió estrictament decreixent.

Es vol dissenyar un algorisme que generi una successió d'aproximacions numèriques amb l'estructura $a_n = \dfrac{k \cdot n + 10}{n + p}$, on $k$ i $p$ són paràmetres reals fixats. L'algorisme ha de satisfer simultàniament tres requisits tècnics:

1. El primer valor generat ha de ser exactament $a_1 = 3$.

2. En avançar en el procés ($n$ cada vegada més gran), els termes s'aproximen tant com es vulgui a $2$ sense arribar mai a ser menors o iguals a $2$ (és a dir, $2$ és la cota inferior estricta i límit de la successió).

3. La successió ha de ser estrictament decreixent per a tot $n \ge 1$.

1. a) Determina de manera raonada els valors únics dels paràmetres $k$ i $p$ a partir dels requisits 1 i 2.
2. b) Amb els valors trobats, demostra rigorosament mitjançant la definició de la diferència $a_{n+1} - a_n < 0$ que la successió compleix el requisit 3 per a qualsevol $n \ge 1$.
3. c) Investiga què passaria amb la monotonia si, mantenint el valor obtingut de $p$, es modifiqués el paràmetre $k$ passant a ser $k = 5$. Demostra si la nova successió seria estrictament decreixent o estrictament creixent.

Es considera la successió $a_n = \dfrac{2^n + 5}{2^{n+1} + 1}$ definida per a tot $n \ge 1$.

1. a) Demostra rigorosament que $(a_n)$ és estrictament decreixent per a tot $n \ge 1$ mitjançant el càlcul de la diferència $a_{n+1} - a_n$. Per operar amb claredat, mantingues les potències de base $2$ agrupades i justifica el signe final de la fracció resultant.
2. b) Demostra que la successió està fitada superiorment pel seu primer terme $a_1$ i fitada inferiorment pel valor $m = 0,5$, provant algebraicament que la diferència $a_n - 0,5$ és estrictament positiva per a qualsevol nombre natural $n$.
3. c) Recolzant-te en el caràcter decreixent i en la cota trobada, determina a partir de quin nombre natural $n$ la distància entre el terme $a_n$ i el valor $0,5$ es fa menor que una centèsima ($0,01$).