Vectores en el plano

Dados los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$, calcula las componentes del vector $\vec{AB}$ y su módulo.

Observa los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ representados en la cuadrícula. Escribe sus componentes y calcula analíticamente las coordenadas del vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Halla los posibles valores de $x$ para que el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tenga un módulo exactamente igual a $10$.

Un dron de reparto vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v}_d = (12, 5)$ km/h. En ese instante, el viento sopla con una velocidad $\vec{v}_v = (-3, 2)$ km/h. Calcula el vector velocidad real del dron y su rapidez (el módulo del vector resultante).

Indica si los vectores $\vec{a} = (6, -9)$ y $\vec{b} = (-2, 3)$ son paralelos (tienen la misma dirección). Justifica tu respuesta matemáticamente.

En el diseño de un puente, tres pilares deben estar perfectamente alineados. En el plano del arquitecto, las bases de los pilares están situadas en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ y $R(8, k)$. Determina el valor de $k$ para que la alineación sea correcta.

Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{p} = (4, 5)$ y $\vec{q} = (-2, 3)$. A partir del resultado, indica si son perpendiculares.

Considera los vectores dependientes de un parámetro $\vec{u} = (m, 2)$ y $\vec{v} = (3, m-1)$. Halla los valores del parámetro $m$ en dos casos geométricos distintos:

1. a) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean perpendiculares.
2. b) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean paralelos.

Averigua si el triángulo formado por las antenas de telecomunicaciones situadas en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ y $C(9, -1)$ es un triángulo rectángulo. Utiliza el producto escalar de los vectores que forman sus lados para justificar tu respuesta.