Exercicis: Producte escalar

Donats els vectors $\vec{u} = (3, -2)$ i $\vec{v} = (4, 5)$, calcula el seu producte escalar i determina si són ortogonals.

Sabent que els mòduls de dos vectors són $|\vec{a}| = 4$ i $|\vec{b}| = 6$, i que l'angle que formen és de $60^\circ$, calcula el valor exacte del seu producte escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Troba el valor del paràmetre $m$ perquè els vectors $\vec{p} = (m, -3)$ i $\vec{q} = (6, 2)$ siguin perpendiculars.

Calcula l'angle que formen els vectors $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ i $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Donats els punts del pla $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ i $C(0, 5)$, calcula el valor del producte escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Utilitzant les propietats del producte escalar, desenvolupa i calcula el valor de l'expressió $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sabent que $|\vec{u}| = 5$ i $|\vec{v}| = 3$.

Troba les coordenades d'un vector $\vec{w}$ que sigui perpendicular al vector $\vec{v} = (-5, 12)$ i que tingui el seu mateix mòdul.

Calcula el mòdul del vector $\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ coneixent les components dels vectors $\vec{u} = (1, -1)$ i $\vec{v} = (0, 4)$.

L'Elena ha de calcular l'angle que formen els vectors $\vec{u} = (1, -1)$ i $\vec{v} = (0, 3)$. Al seu examen escriu el procediment següent:

«$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = -3$. Com que el producte escalar no pot ser negatiu en mesurar longituds geomètriques, canvio el signe a $+3$. Per tant, $\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, d'on $\alpha = 45^\circ$».

1. a) Assenyala l'error conceptual que comet l'Elena respecte al signe del producte escalar i explica el seu veritable significat geomètric en relació amb el tipus d'angle.
2. b) Corregeix la resolució calculant el valor exacte de l'angle $\alpha$ que formen tots dos vectors.

Es consideren els vectors del pla $\vec{u} = (5, 2)$ i $\vec{v} = (-1, 4)$.

1. a) Estima: Sense fer la multiplicació numèrica de les seves components, situa mentalment tots dos vectors en els quadrants corresponents del pla cartesià i raona si el seu producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ resultarà positiu, negatiu o nul, predint si l'angle que formen és agut, obtús o recte.
2. b) Comprova: Calcula ara el valor numèric exacte de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ i obtén la mesura en graus de l'angle $\alpha$ entre ells (arredonint a les dècimes). Justifica si el resultat analític confirma la teva predicció inicial.

En una obra de construcció, una grua arrossega un bloc de formigó aplicant una força constant representada pel vector $\vec{F} = (450, 600)$ expressada en newtons. El bloc experimenta un desplaçament rectilini donat pel vector $\vec{d} = (12, 5)$ en metres. Sabent que el treball mecànic es defineix com a $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcula el treball realitzat per la grua i l'angle que formen la força aplicada i el desplaçament.

Calcula el valor (o els valors) del paràmetre $k$ perquè l'angle format pels vectors $\vec{u} = (k, 3)$ i $\vec{v} = (1, -2)$ sigui exactament de $135^\circ$.

Comprova, utilitzant exclusivament el producte escalar, si el triangle de vèrtexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(1, 12)$ és rectangle, acutangle o obtusangle. Identifica en quin vèrtex es troba l'angle recte si ho és.

En el desenvolupament d'un motor físic per a un videojoc, un personatge es desplaça seguint la direcció i el sentit del vector $\vec{d} = (8, 4)$. La gravetat en aquest entorn virtual està definida pel vector $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calcula la projecció ortogonal del vector gravetat sobre la direcció del moviment del personatge.

Sabent que els mòduls de dos vectors són $|\vec{a}| = 3$ i $|\vec{b}| = 5$, i que el seu producte escalar és $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, calcula el valor exacte de l'expressió $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$.

Determina les coordenades d'un vector $\vec{v}$ que sigui ortogonal al vector $\vec{u} = (3, -4)$ i el mòdul del qual sigui exactament $10$. Tingues en compte que hi ha dues solucions possibles; indica-les totes dues.

Un panell solar pla està orientat de manera que el seu vector normal (perpendicular a la superfície) és $\vec{n} = (1, \sqrt{3})$. Els raigs del sol incideixen sobre el panell seguint la direcció del vector $\vec{s} = (2, -1)$. Calcula l'angle d'incidència dels raigs solars, definit com l'angle que forma el vector normal $\vec{n}$ amb el vector dels raigs solars invertit $-\vec{s}$.

Troba el valor de $x$ perquè el vector $\vec{u} = (x, 2)$ formi un angle de $30^\circ$ amb el semieix positiu d'abscisses. Utilitza el producte escalar amb el vector unitari $\vec{i} = (1, 0)$ per plantejar l'equació.

Determina les coordenades d'un vector desconegut $\vec{w} = (x, y)$ que satisfà simultàniament les dues condicions geomètriques següents:

1. És ortogonal al vector $\vec{u} = (3, -4)$.

2. La seva projecció ortogonal amb signe sobre la direcció del vector $\vec{v} = (0, 5)$ és exactament $-3$.

Troba el vector $\vec{w}$, calcula el seu mòdul i justifica raonadament si la solució obtinguda és única o si existeix més d'un vector que compleixi totes dues condicions.

En una instal·lació fotovoltaica de la província de Sevilla, la direcció d'incidència de la radiació solar en un determinat moment ve descrita pel vector unitari $\vec{s} = (0,6;\, 0,8)$, que apunta cap al Sol. L'orientació d'un panell pla es descriu mitjançant un vector unitari perpendicular a la seva superfície, $\vec{n}$. La fracció de potència captada respecte al màxim teòric ve donada pel producte escalar $\vec{s} \cdot \vec{n}$ (on el valor $1$ equival al $100\,\%$ de rendiment).

A causa d'un joc mecànic, el panell queda orientat amb un vector normal $\vec{n} = (0,8;\, 0,6)$.

1. a) Calcula $\vec{s} \cdot \vec{n}$ i determina quin percentatge de la seva potència màxima teòrica capta el panell en aquesta posició.
2. b) Calcula l'angle de desalineació existent entre els rajos del sol i la perpendicular del panell.
3. c) Si un operari gira manualment el panell fins a una orientació amb vector normal $\vec{n}' = (-0,8;\, 0,6)$, generarà corrent la cara frontal del panell? Justifica la teva resposta analitzant el signe i interpretant geomètricament el valor del producte escalar $\vec{s} \cdot \vec{n}'$.

Demostra, utilitzant exclusivament les propietats algebraicament del producte escalar, que les diagonals de qualsevol rombe són perpendiculars entre si.

Nota: Pots modelar els costats del rombe mitjançant dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ amb el mateix origen i el mateix mòdul ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Expressa les diagonals en funció de $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Troba les coordenades d'un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabent que el seu producte escalar amb el vector $\vec{u} = (2, -1)$ és igual a $4$, i que el seu producte escalar amb el vector $\vec{v} = (1, 3)$ és igual a $-5$.

Donats els vectors dependents del paràmetre $t$, $\vec{a} = (t, 2)$ i $\vec{b} = (t-1, t)$, determina el valor de $t$ que fa que el producte escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ assoleixi el seu valor mínim. Calcula també l'angle que formen els vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$ per a aquest valor específic de $t$.

En un triangle els vèrtexs del qual són els punts $P(-3, -1)$, $Q(5, -1)$ i $R(1, 6)$, utilitza el concepte de producte escalar i ortogonalitat de vectors per determinar les coordenades exactes del seu ortocentre (el punt on s'intersequen les tres altures del triangle).

En gràfics per ordinador, la intensitat de llum difusa sobre una superfície es calcula mitjançant la llei de Lambert: $I = I_0 \max(0, \vec{n} \cdot \vec{l})$, on $\vec{n}$ és el vector normal unitari a la superfície i $\vec{l}$ és el vector unitari que apunta cap a la font de llum. Si una superfície té un vector normal amb la mateixa direcció i sentit que $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$ i la font de llum es troba en la direcció i sentit del vector $\vec{w} = (1, 1)$, calcula la intensitat exacta de llum $I$ com una fracció de $I_0$.

Es sap que $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són dos vectors unitaris. Si els vectors construïts com a $\vec{a} = \vec{u} + 2\vec{v}$ i $\vec{b} = 5\vec{u} - 4\vec{v}$ resulten ser ortogonals entre si, determina l'angle exacte que formen els vectors originals $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Considera els punts fixos $A(0, 3)$ i $B(5, 2)$. Troba tots els punts $C$ situats sobre l'eix d'abscisses tals que el triangle $ABC$ sigui rectangle amb l'angle recte situat al vèrtex $C$.

Demostra analíticament la «Llei del paral·lelogram» utilitzant les propietats del producte escalar. És a dir, demostra que per a qualssevol dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$, es compleix la identitat:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2$

Explica cada pas algebraic basant-te en la definició de mòdul al quadrat com el producte escalar d'un vector per ell mateix.

Es coneixen els mòduls de dos vectors, $|\vec{u}| = 3$ i $|\vec{v}| = 5$, i se sap que formen entre si un angle de $60^\circ$. Es vol trobar el cosinus de l'angle $\theta$ que formen els vectors suma $\vec{a} = \vec{u} + \vec{v}$ i diferència $\vec{b} = \vec{u} - \vec{v}$. Dos estudiants plantegen camins diferents:

• Estratègia A (Geometria analítica): Fixar un sistema cartesià amb $\vec{u} = (3, 0)$ sobre l'eix d'abscisses, determinar les components de $\vec{v} = (5\cos 60^\circ, 5\sin 60^\circ)$ mitjançant raons trigonomètriques, sumar i restar per obtenir $\vec{a}$ i $\vec{b}$ en coordenades, i aplicar l'expressió analítica del producte escalar.

• Estratègia B (Àlgebra vectorial): Desenvolupar simbòlicament $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ i els mòduls $|\vec{a}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$ i $|\vec{b}|^2 = (\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ utilitzant exclusivament les propietats commutativa, distributiva i $\vec{x}\cdot\vec{x}=|\vec{x}|^2$, sense fixar eixos ni coordenades.

1. a) Aplica totes dues estratègies de manera completa per obtenir el valor exacte de $\cos\theta$.
2. b) Compara els dos camins: quin dels dos mètodes revela una propietat geomètrica que no depèn en absolut de l'angle de $60^\circ$? Justifica quin és més directe i generalitzable a tres dimensions.

1. a) Demostra formalment, utilitzant únicament les propietats algebraiques del producte escalar (commutativa, distributiva i $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$), la coneguda com a Llei del paral·lelogram:

1. b) Al port d'Algesires, dos remolcadors ajuden a posicionar una plataforma flotant estirant mitjançant cables amarrats a un mateix enganxall. Les forces aplicades es modelitzen com a vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$, amb mòduls $|\vec{u}| = 8\text{ kN}$ i $|\vec{v}| = 6\text{ kN}$. Un dinamòmetre a l'enganxall registra que la força resultant total té un mòdul de $|\vec{u} + \vec{v}| = 12\text{ kN}$. Sense calcular l'angle que formen els cables ni utilitzar coordenades cartesianes, aplica la identitat demostrada a l'apartat anterior per calcular el valor exacte del mòdul $|\vec{u} - \vec{v}|$.
2. c) A partir de les dades i dels resultats anteriors, dedueix de manera raonada el signe del producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ i determina si l'angle comprès entre les dues línies de tir és agut, recte o obtús.