Producto escalar

Dados los puntos del plano $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ y $C(0, 5)$, calcula el valor del producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Sabiendo que los módulos de dos vectores son $|\vec{a}| = 4$ y $|\vec{b}| = 6$, y que el ángulo que forman es de $60^\circ$, calcula el valor exacto de su producto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ y $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Calcula el valor (o los valores) del parámetro $k$ para que el ángulo formado por los vectores $\vec{u} = (k, 3)$ y $\vec{v} = (1, -2)$ sea exactamente de $45^\circ$.

Dados los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (4, 5)$, calcula su producto escalar y determina si son ortogonales.

Encuentra el valor del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{p} = (m, -3)$ y $\vec{q} = (6, 2)$ sean perpendiculares.

Comprueba, utilizando exclusivamente el producto escalar, si el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(1, 12)$ es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. Identifica en qué vértice se encuentra el ángulo recto en caso de serlo.

En una obra de construcción, una grúa arrastra un bloque de hormigón aplicando una fuerza constante representada por el vector $\vec{F} = (450, 600)$ expresada en Newtons. El bloque experimenta un desplazamiento rectilíneo dado por el vector $\vec{d} = (12, 5)$ en metros. Sabiendo que el trabajo mecánico se define como $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcula el trabajo realizado por la grúa y el ángulo que forman la fuerza aplicada y el desplazamiento.

En el desarrollo de un motor físico para un videojuego, un personaje se desplaza siguiendo la dirección y sentido del vector $\vec{d} = (8, 4)$. La gravedad en este entorno virtual está definida por el vector $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calcula la proyección ortogonal del vector gravedad sobre la dirección del movimiento del personaje.

Utilizando las propiedades del producto escalar, desarrolla y calcula el valor de la expresión $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sabiendo que $|\vec{u}| = 5$ y $|\vec{v}| = 3$.

Demuestra, utilizando exclusivamente las propiedades algebraicas del producto escalar, que las diagonales de cualquier rombo son perpendiculares entre sí.

Nota: Puedes modelar los lados del rombo mediante dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con el mismo origen y el mismo módulo ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Expresa las diagonales en función de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.