Ángulos orientados y circunferencia goniométrica
Hasta ahora el seno, el coseno y la tangente solo tenían sentido para ángulos agudos, los que cabían dentro de un triángulo rectángulo. Pero un GPS necesita calcular el ángulo de una curva de $200º$, una noria da vueltas de $750º$ sin parar, y la pala de un aerogenerador pasa por arriba, por abajo y por los lados. Hace falta una definición que funcione para cualquier ángulo, por grande, pequeño o negativo que sea. Esa es la circunferencia goniométrica.
Ángulos de más de una vuelta, y ángulos negativos
Un ángulo no tiene por qué quedarse entre $0º$ y $360º$. Si algo gira y sigue girando, el ángulo recorrido puede ser $750º$, $2000º$ o más: cada $360º$ es una vuelta completa. Por convenio, los ángulos se miden desde el semieje positivo de $X$, y son positivos si el giro es antihorario y negativos si es horario.
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:…
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:
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$\alpha = 750º$
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$\beta = 1180º$
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$\gamma = 2000º$
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:…
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:
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$\alpha = -60º$
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$\beta = -150º$
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$\gamma = -400º$
La circunferencia goniométrica: seno y coseno como coordenadas
Dibuja una circunferencia de radio $1$ centrada en el origen de un plano cartesiano. Para cualquier ángulo $\alpha$ medido desde el semieje positivo de $X$, su lado terminal corta a esa circunferencia en un único punto $P$. Esa es la idea clave: el coseno de $\alpha$ es la abscisa de $P$, y el seno de $\alpha$ es su ordenada.
Para un ángulo agudo, esta definición coincide exactamente con la del triángulo rectángulo: el radio de la circunferencia (la hipotenusa) mide $1$, así que cateto opuesto entre hipotenusa es, directamente, la ordenada de $P$.
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra…
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.
A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:
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$\sin 90º$ y $\cos 90º$
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$\sin 180º$ y $\cos 180º$
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$\sin 270º$ y $\cos 270º$
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$\sin 360º$ y $\cos 360º$
Los cuatro cuadrantes y el signo de las razones
La circunferencia goniométrica queda dividida por los ejes en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario desde el semieje positivo de $X$. El cuadrante en el que cae el lado terminal de $\alpha$ determina, sin necesidad de calcular nada, si $\sen\ \alpha$ y $\cos\ \alpha$ son positivos o negativos: basta con mirar el signo de la ordenada y la abscisa en esa zona.
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos: $\alpha = 95º$ $\beta = 262º$ $\gamma = 310º$ $\delta = -80º$ $\varepsilon = 500º$
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:
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$\alpha = 95º$
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$\beta = 262º$
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$\gamma = 310º$
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$\delta = -80º$
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$\varepsilon = 500º$
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo: $\sin 130º$…
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:
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$\sin 130º$
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$\cos 200º$
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$\tan 320º$
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$\cos 95º$
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$\sin 350º$
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$\tan 140º$
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes. A la vista de la figura,…
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.
A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.
Ángulos mayores de 90º: el triángulo de referencia
¿Cómo se calcula, por ejemplo, $\sen\ 135º$ sin calculadora? La clave es el triángulo de referencia: el triángulo rectángulo que se forma entre el lado terminal, su proyección sobre el eje $X$ y el propio eje $X$. Ese triángulo tiene un ángulo agudo —el ángulo de referencia— cuyas razones coinciden, salvo el signo, con las del ángulo original.
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia. Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$…
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.
Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a…
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).
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Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.
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Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.
Considera el ángulo $\alpha = 215º$. Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal. Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$. Escribe…
Considera el ángulo $\alpha = 215º$.
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Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.
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Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.
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Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.
¿Y si no existe la tangente?
La tangente se define como $\tg\ \alpha = \dfrac{\sen\ \alpha}{\cos\ \alpha}$. Como toda división, falla cuando el denominador es $0$: cuando $\cos\ \alpha = 0$, la tangente no existe. Eso pasa exactamente en $90º$ y en $270º$, los dos puntos donde el lado terminal cae sobre el eje $Y$.
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que: $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$ $\cos \beta > 0$ y…
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:
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$\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$
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$\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$
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$\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$
Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$. ¿Cuántas…
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.
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¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?
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¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?
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Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta: Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$. Si $\sin \alpha > 0$,…
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:
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Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.
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Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.
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La tangente de $90º$ no existe.
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$\sin(-40º) = \sin 40º$.