Operaciones con polinomios
Si el ingreso de una empresa es $I(x) = 300x - 2x^2$ y su coste es $C(x) = 50x + 200$, el beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$ es otro polinomio. Operar con polinomios —sumarlos, multiplicarlos, dividirlos— es la herramienta que convierte varias fórmulas en una sola, lista para evaluar o factorizar.
Suma, resta y producto de polinomios
Sumar o restar polinomios es reducir término a término los que son semejantes. El signo menos de una resta afecta a todos los términos del segundo polinomio.
Para multiplicar, cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo; un rectángulo de áreas lo visualiza bien.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Identidades notables
Son tres productos tan frecuentes que conviene reconocerlos sin desarrollar paso a paso: ahorran tiempo al operar y, al revés, son la primera herramienta para factorizar.
Desarrolla las siguientes expresiones aplicando las identidades notables correspondientes: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x - 5)^2$
Desarrolla las siguientes expresiones aplicando las identidades notables correspondientes:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x - 5)^2$
Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia: a) $16x^2 - 25$ b) $9x^4 - 49$
Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia:
- a) $16x^2 - 25$
- b) $9x^4 - 49$
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ consigue un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ con $D(x) = d(x)\cdot C(x) + R(x)$, igual que la división entera de números, y el resto tiene grado menor que el divisor (o es $0$).
Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el…
Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$.
Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe…
Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe la factorización de $P(x)$ como producto de dos polinomios.
La regla de Ruffini
Cuando el divisor es de la forma $x - a$, hay un atajo mucho más rápido que la división general: la regla de Ruffini. Solo se trabaja con los coeficientes del dividendo y el valor $a$.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el resto obtenidos.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el resto obtenidos.
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y…
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y exprésalo en su forma desarrollada.
El teorema del resto
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el…
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el teorema del resto para justificar tu respuesta.
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un…
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un resto de $-12$ al dividirlo entre $(x + 1)$.
Operaciones combinadas y aplicaciones
Los problemas reales encadenan varias de estas operaciones: construir un polinomio con las operaciones del enunciado, simplificarlo y, si hace falta, evaluarlo o dividirlo.
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado…
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado $(x - 1)$ metros, y el resto se cubrirá de césped. Expresa el área de la zona de césped como un polinomio en $x$ simplificado.
El coste de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende…
El coste de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende de la cantidad fabricada y sigue la expresión $p(x) = 300 - 2x$.
Halla el polinomio beneficio $B(x)$, sabiendo que el beneficio es igual a los ingresos totales (cantidad por precio) menos los costes totales. ¿Cuál será el beneficio si se fabrican y venden $40$ unidades?
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota,…
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota, lanzada desde otro punto, sigue una trayectoria descrita por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.
Encuentra el polinomio $D(t)$ que representa la diferencia de altura entre la primera y la segunda pelota ($D(t) = H(t) - G(t)$). ¿En qué instante $t$ se encuentran ambas pelotas a la misma altura?