Exercicis: Polinomis

Siguin els polinomis $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ i $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomi resultant de l'operació $2P(x) - Q(x)$ i expressa el resultat ordenat de major a menor grau.

Fes la divisió de polinomis següent i indica clarament quin és el polinomi quocient $C(x)$ i el polinomi residu $R(x)$:

$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$

Utilitza la regla de Ruffini per efectuar la divisió del polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomi $x + 2$. Indica el quocient i el residu.

Aplica el teorema del residu per calcular el residu de la divisió del polinomi $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sense necessitat de fer la divisió completa.

Utilitzant el teorema del factor, comprova si els valors $x = 2$ i $x = -1$ són arrels del polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs.

Treu el factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar completament el polinomi $P(x) = 3x^3 - 12x$.

Simplifica al màxim la fracció algebraica següent, factoritzant prèviament el numerador i el denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Fes la multiplicació de fraccions algebraiques següent i simplifica el resultat:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

En Marcos ha de calcular el quocient i el residu de la divisió del polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x + 3$ entre $x + 2$. En el seu examen escriu la taula de Ruffini següent: col·loca a la fila superior els coeficients $2$, $-5$ i $3$, i a la casella lateral esquerra hi situa el nombre $2$. Després de fer les operacions, conclou que el residu de la divisió és $9$ i que el quocient és $C(x) = 2x + 1$.

1. a) Identifica i explica raonadament els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos en plantejar la regla de Ruffini.
2. b) Corregeix el plantejament fent la divisió de manera adequada i escriu amb claredat el polinomi quocient $C(x)$ i el residu $R$.
3. c) Comprova que el residu obtingut és correcte avaluant el polinomi mitjançant el teorema del residu.

Per calcular el residu de la divisió del polinomi $P(x) = 3x^{50} - 4x^{25} + 2x - 1$ entre el binomi $x - 1$, tres alumnes de la classe proposen estratègies diferents:

• L'Alba proposa aplicar la divisió euclidiana tradicional en caixa.

• En Bruno suggereix emprar la regla de Ruffini completant amb zeros els termes de grau intermedi.

• La Carla afirma que és molt més immediat aplicar el teorema del residu.

1. a) Compara raonadament els tres mètodes i explica per què dos d'ells resulten totalment inviables o ineficients en aquest cas concret.
2. b) Seguint el mètode més adequat, calcula el residu de la divisió.
3. c) A partir del valor del residu obtingut, dedueix de manera justificada si el binomi $(x - 1)$ és o no un factor del polinomi $P(x)$.

Els beneficis diaris d'una empresa, en milers d'euros, es modelitzen mitjançant el polinomi $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, on $x$ és el dia de la setmana (de 1 a 7). Es sap que el dia 1 el benefici és zero. A més, en dividir $B(x)$ entre $x-2$, el residu és $2$. Calcula els paràmetres $a$ i $b$, i factoritza el polinomi per determinar en quin altre dia de la setmana el benefici torna a ser exactament zero.

Una empresa d'embalatges dissenya caixes rectangulars sense tapa a partir d'una planxa de cartró de $30 \text{ cm}$ per $20 \text{ cm}$. Per fer-ho, retallen quadrats de costat $x$ a cada cantó i pleguen les vores cap amunt. Expressa el volum $V(x)$ de la caixa com un polinomi en forma estàndard (desenvolupat). Després, calcula el volum exacte si es retallen quadrats de $x = 4 \text{ cm}$.

En un circuit elèctric, la resistència equivalent $R_{eq}$ ve donada per la següent expressió de fraccions algebraiques:

$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$

Fes les operacions indicades, calcula el mínim comú múltiple dels denominadors i simplifica la fracció resultant al màxim. Quin és el valor de la resistència si $x = 3 \ \Omega$?

Desenvolupa completament la potència del binomi $(2x - y)^4$ utilitzant la fórmula del binomi de Newton o el triangle de Tartaglia.

En un estudi de combinacions genètiques, la distribució de certa probabilitat està relacionada amb el desenvolupament del binomi $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Troba el valor numèric exacte del terme independent (el terme que no depèn de $x$) en aquest desenvolupament.

Factoritza completament el polinomi de quart grau $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de la seva forma factoritzada, indica totes les seves arrels reals.

En la divisió del polinomi $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de la divisió sigui un nombre constant (és a dir, un polinomi de grau 0). Quin és el valor exacte d'aquest residu?

L'àrea d'una finestra de disseny especial en un edifici ve donada per l'expressió $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica aquesta fracció algebraica factoritzant prèviament el numerador (diferència de cubs) i el denominador. Després, avalua l'àrea quan $x = 3$ metres.

Dissenya un polinomi mònic $P(x)$ del menor grau possible que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. Admet $x = -2$ com a arrel amb multiplicitat 2 (arrel doble).

2. El seu terme independent és $-12$.

3. En dividir-lo entre $(x - 1)$, el residu obtingut és exactament $-18$.

4. No té més arrels reals que les estrictament necessàries per verificar les condicions anteriors.

1. a) Justifica per què el polinomi buscat no pot ser de grau 2 i dedueix quin ha de ser el seu grau mínim.
2. b) Determina l'expressió algebraica de $P(x)$ tant en la seva forma factoritzada com en la seva forma desenvolupada i ordenada de major a menor grau.
3. c) Comprova de manera explícita que el polinomi trobat satisfà totes i cadascuna de les condicions de l'enunciat.

Considera el polinomi $P(x) = x^4 - 3x^3 + 5x - 40$ i el divisor $d(x) = x - 4$.

1. a) Abans de calcular el resultat exacte, fes una estimació raonada del valor del residu analitzant l'ordre de magnitud dels dos termes de major grau quan $x = 4$. Esperes que el residu sigui positiu o negatiu? De l'ordre de les desenes o de les centenes?
2. b) Calcula el residu exacte de la divisió aplicant el teorema del residu i valora críticament si la teva estimació inicial ha estat encertada.
3. c) Aplica la regla de Ruffini per obtenir el polinomi quocient $C(x)$ i comprova la igualtat fonamental de la divisió, $P(x) = (x - 4)\cdot C(x) + R$, avaluant tots dos membres per al valor numèric $x = 1$.

La corba de dilatació tèrmica d'un nou polímer s'aproxima mitjançant un polinomi cúbic $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En els assajos de laboratori s'ha comprovat que a les temperatures $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ i $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatació és nul·la. Tanmateix, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatació és de $2 \text{ mm}$. Determina el valor dels coeficients $a, b, c, d$ del polinomi.

La corba de flexió d'una biga sotmesa a càrrega es modelitza amb el polinomi $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Es sap que el polinomi és exactament divisible per $(x-1)^2$. A més, en dividir-lo per $x+1$ el residu és $-8$, i en dividir-lo per $x-2$ el residu és $4$. Planteja el sistema d'equacions corresponent i troba els valors de $a, b, c$ i $d$.

En el disseny d'un mecanisme d'engranatges, la relació de transmissió es modelitza mitjançant la següent expressió algebraica complexa:

$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$

Simplifica $T(x)$ al màxim factoritzant prèviament tots els numeradors i denominadors. Quin problema matemàtic (i per tant físic) ocorre amb la relació de transmissió si $x = 2$?

En el desenvolupament del binomi $(x + 2)^n$, es sap que el coeficient del terme que conté $x^{n-2}$ és exactament $180$. Planteja l'equació corresponent utilitzant la fórmula del binomi de Newton, troba el valor del nombre natural $n$ i calcula el terme independent d'aquest desenvolupament.

Un envàs cilíndric s'inscriu dins d'una esfera de radi $R = 10 \text{ cm}$. El volum del cilindre en funció de la seva semialçada $x$ és $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Es desitja que el volum sigui exactament $768\pi \text{ cm}^3$. Formula l'equació polinòmica $P(x) = 0$, troba la seva arrel entera utilitzant la regla de Ruffini i factoritza el polinomi resultant per trobar totes les possibles semialçades $x$ que compleixen la condició geomètrica.

Demostra, utilitzant el teorema del factor, que el polinomi $P(x) = x^n - a^n$ és sempre divisible per $x - a$ per a qualsevol nombre natural $n \ge 1$. A continuació, aplica aquesta propietat per extreure l'arrel evident i factoritzar completament el polinomi $P(x) = x^5 - 32$ en el conjunt dels nombres reals.

Donada la fracció algebraica que modelitza la relació senyal-soroll en una xarxa de telecomunicacions:

$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$

Factoritza completament el numerador i el denominador utilitzant la regla de Ruffini i la resolució d'equacions de segon grau. Simplifica la fracció al màxim i determina, si existeix, per a quin valor real de $x$ la fracció simplificada és igual a $3$.

En un projecte de disseny 3D, es parteix d'un cub massís d'aresta $x+2 \text{ cm}$. Es perforen el seu interior extreient un altre cub concèntric d'aresta $x-1 \text{ cm}$. Expressa el volum de material restant com un polinomi en forma estàndard (desenvolupant els binomis al cub i simplificant). Després, troba el valor de $x$ si es sap que el volum de material restant és exactament de $117 \text{ cm}^3$.

El volum d'aigua embassada en un pantà de la conca del Guadalquivir al llarg d'un any hidrològic de 12 mesos ($t \in [0, 12]$, on $t = 0$ representa l'1 d'octubre) es modelitza mitjançant el polinomi cúbic $V(t) = -t^3 + b t^2 + c t + d$, expressat en hectòmetres cúbics ($\text{hm}^3$). Les dades oficials de la confederació hidrogràfica registren el següent:

• A l'inici de l'any hidrològic ($t = 0$), l'embassament contenia $180\text{ hm}^3$.

• En finalitzar el mes de desembre ($t = 3$), el volum va tornar a ser exactament de $180\text{ hm}^3$.

• En concloure el mes de març ($t = 6$), després de les pluges de final d'hivern, el volum embassat va assolir els $288\text{ hm}^3$.

1. a) Tradueix la informació a un sistema d'equacions i calcula raonadament els coeficients $b$, $c$ i $d$.
2. b) Mitjançant la regla de Ruffini, descompon el polinomi $V(t) - 180$ en producte de tres factors lineals i determina en quin altre mes de l'any hidrològic les reserves es tornen a situar exactament en el nivell inicial de $180\text{ hm}^3$.
3. c) Interpreta el signe del polinomi factoritzat $V(t) - 180$ en l'interval $[0, 12]$ per indicar en quin període de l'any les reserves es situen per sobre dels $180\text{ hm}^3$, i raona si el model prediu en algun moment el buidatge total de l'embassament ($V(t) \le 0$).

Un polinomi $P(x)$, el grau del qual no s'especifica a priori, produeix un residu igual a $-4$ quan es divideix entre $(x - 2)$, i un residu igual a $8$ quan es divideix entre $(x + 1)$.

1. a) Si es divideix $P(x)$ entre el polinomi quadràtic $Q(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2$, justifica formalment, a partir de la identitat fonamental de la divisió euclidiana $D(x) = d(x)\cdot C(x) + R(x)$, quin és el grau màxim que pot tenir el residu $R(x)$.
2. b) Planteja l'expressió algebraica general d'aquest residu $R(x)$ i calcula els seus coeficients exactes aplicant el teorema del residu, demostrant per què no cal conèixer la fórmula global de $P(x)$ per determinar-lo.
3. c) Si s'afegeix la dada que $P(x)$ és mònic, de grau 3 i el seu terme independent és $6$ (és a dir, el residu en dividir-lo entre $x$ és $6$), reconstrueix l'expressió completa de $P(x)$ i factoritza-la a $\mathbb{R}$ trobant totes les seves arrels.