Polinomios
En 4º de ESO ya trabajaste con polinomios: sumarlos, multiplicarlos, dividirlos con Ruffini. En 1º de Bachillerato esas herramientas se vuelven más generales y más útiles: sirven para modelar el beneficio de una empresa, la trayectoria de un dron o la resistencia de un circuito, y para resolver ecuaciones de grado alto que de otra forma serían imposibles de atacar. Este apartado repasa el terreno común y anuncia, en cada sección, dónde se profundiza cada idea.
Definición, grado y operaciones básicas
Un polinomio en $x$ es una suma de términos $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, con los $a_i$ números reales (los coeficientes) y los exponentes naturales. El grado es el mayor exponente con coeficiente no nulo; $a_n$ es el coeficiente principal y $a_0$ el término independiente.
Sumar o restar polinomios es reducir los términos semejantes (mismo grado). Multiplicar es aplicar la propiedad distributiva: cada término del primero por cada término del segundo, y luego reducir.
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado…
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$, siempre con el resto de grado menor que el divisor (o nulo). El algoritmo es igual que una división larga de números: se divide el término de mayor grado, se multiplica y se resta, y se repite con lo que queda.
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:…
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:
$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un…
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un número constante (es decir, un polinomio de grado 0). ¿Cuál es el valor exacto de ese resto?
Un atajo cuando el divisor es $x-a$: la regla de Ruffini
Si el divisor tiene grado $1$ y es de la forma $x-a$, no hace falta montar la división larga: la regla de Ruffini trabaja solo con los coeficientes y es mucho más rápida. El apartado siguiente la desarrolla a fondo; aquí basta con reconocer cuándo se puede usar.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el resto.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el resto.
Dos atajos para saber si $a$ es raíz
Antes de dividir, conviene saber si merece la pena: el teorema del resto dice que el resto de dividir $P(x)$ entre $(x-a)$ es, directamente, $P(a)$. Y el teorema del factor dice que $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ exactamente cuando $P(a)=0$, es decir, cuando $a$ es raíz. Ambos se amplían en los apartados "Teorema del resto" y "Factorización".
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división…
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división completa.
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los…
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
De vuelta a lo conocido: factor común, identidades y fracciones
Factorizar sigue empezando igual que en 4º: factor común primero, identidades notables después. Y una fracción algebraica se simplifica igual que una fracción numérica, cancelando los factores que numerador y denominador tienen en común.
Extrae el factor común y utiliza las identidades notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Extrae el factor común y utiliza las identidades notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado:
$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Polinomios que modelan problemas reales
Muchas situaciones —beneficios, volúmenes, señales— se describen con un polinomio que tiene algún parámetro desconocido. Las condiciones del problema (un valor conocido, un resto exacto) se traducen en ecuaciones que permiten hallar ese parámetro.
Los beneficios diarios de una empresa, en miles de euros, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se…
Los beneficios diarios de una empresa, en miles de euros, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se sabe que el día 1 el beneficio es cero. Además, al dividir $B(x)$ entre $x-2$, el resto es $2$. Calcula los parámetros $a$ y $b$, y factoriza el polinomio para determinar en qué otro día de la semana el beneficio vuelve a ser exactamente cero.
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de…
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y pliegan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como un polinomio en forma estándar (desarrollado). Después, calcula el volumen exacto si se recortan cuadrados de $x = 4 \text{ cm}$.
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha…
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha comprobado que a las temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ y $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es nula. Sin embargo, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es de $2 \text{ mm}$. Determina el valor de los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio.