Factorización y regla de Ruffini
Un polinomio factorizado es, para un programa que resuelve ecuaciones, lo mismo que un plano de despiece para quien monta un mueble: en vez de una pieza compacta, da directamente las partes por las que se puede romper. Factorizar $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ dice de un vistazo que $P(x)=0$ exactamente cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. La regla de Ruffini es la herramienta que convierte un polinomio cualquiera en ese plano de despiece.
Factor común e identidades notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible (el m.c.d. de los coeficientes y, de cada letra, el menor exponente con el que aparece en todos los términos) y, si lo que queda es una identidad notable, factorizarla también.
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo: $P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:
$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Factoriza los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de identidades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):…
Factoriza los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de identidades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):
- a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
- b) $B(x) = 9x^2 - 16$
La regla de Ruffini para factorizar
Para factorizar un polinomio de grado $\geq 3$, el factor común y las identidades no suelen bastar. La herramienta central es la regla de Ruffini: si se conoce (o se sospecha) una raíz $a$, Ruffini divide $P(x)$ entre $(x-a)$ y da directamente el cociente, un factor de grado una unidad menor.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es…
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el resto de la división.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utiliza la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utiliza la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puedes utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puedes utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.
Teorema del resto y teorema del factor
Antes de lanzarse a hacer Ruffini con cualquier candidato, conviene comprobar rápido si merece la pena: para eso sirve el teorema del resto.
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Candidatos a raíz entera
Probar números al azar es ineficiente. Si $P(x)$ tiene coeficientes enteros, sus raíces enteras (si las tiene) están siempre entre los divisores del término independiente.
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprueba mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una…
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprueba mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factoriza el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra…
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.
Factorización completa y raíces múltiples
Factorizar "completamente" significa repetir factor común, identidades y Ruffini hasta que todos los factores sean de grado $1$ (o de grado $2$ sin raíces reales). Si una raíz aparece más de una vez, es una raíz múltiple.
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son…
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma…
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la…
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.