Exercicis: Combinacions lineals de vectors. Bases

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -3)$ i $\vec{v} = (-4, 6)$, justifica matemàticament si poden formar una base de l'espai vectorial $\mathbb{R}^2$.

Calcula les coordenades del vector resultant de la combinació lineal $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabent que $\vec{a} = (1, 4)$ i $\vec{b} = (-2, 5)$.

Determina el valor del paràmetre $m$ perquè els vectors $\vec{p} = (m, 4)$ i $\vec{q} = (3, -2)$ siguin linealment dependents.

Expressa el vector $\vec{c} = (5, -2)$ com a combinació lineal dels vectors de la base canònica $\vec{i} = (1, 0)$ i $\vec{j} = (0, 1)$.

Comprova si el conjunt de vectors $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonal del pla.

Sabent que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, amb $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ i $\vec{w} = (2, 7)$, troba el valor de l'escalar $k$.

Comprova si els vectors $\vec{u} = (3, 0)$ i $\vec{v} = (0, -2)$ formen una base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.

Raona si tres vectors no nuls en el pla, per exemple $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ i $\vec{w} = (3, 0)$, poden ser linealment independents simultàniament.

Un estudiant, en Marcos, ha d'esbrinar si els vectors $\vec{u} = (2, -1)$ i $\vec{v} = (-6, 3)$ formen una base del pla $\mathbb{R}^2$. Al seu examen escriu el següent:

«Calculem el producte escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 3 = -12 - 3 = -15$. Com que el producte escalar no dóna zero, els vectors no són perpendiculars i, per tant, no coincideixen en direcció; això vol dir que són linealment independents i formen una base de $\mathbb{R}^2$».

Identifica l'error conceptual que comet en Marcos, explica amb rigor per què la seva deducció és falsa i redacta la justificació matemàtica correcta per determinar si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ formen o no una base.

Considera els vectors $\vec{u} = (2, 1)$ i $\vec{v} = (-1, 2)$, que formen una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ de $\mathbb{R}^2$, i el vector objectiu $\vec{w} = (3, 4)$.

1. a) Sense resoldre cap sistema d'equacions, estima raonadament el signe dels escalars $a$ i $b$ en la combinació lineal $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ i argumenta quin dels dos coeficients hauria de tenir un valor absolut més gran observant els quadrants cap on apunta cada vector.
2. b) Planteja el sistema d'equacions lineals, calcula amb exactitud les coordenades $(a, b)_B$ de $\vec{w}$ en aquesta base i comprova si el resultat numèric concorda amb la teva estimació prèvia.

Dos remolcadors tiren d'un vaixell avariat amb forces $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N i $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un tercer remolcador s'hi uneix aplicant una força $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Expressa la força $\vec{F}_3$ com a combinació lineal dels vectors $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$, trobant les coordenades de $\vec{F}_3$ en la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

En el motor físic d'un videojoc, el moviment d'un personatge es defineix en una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, on $\vec{u} = (2, 1)$ i $\vec{v} = (-1, 3)$. Si el personatge s'ha de desplaçar al punt indicat pel vector $\vec{d} = (8, -3)$ respecte a la base canònica, quines seran les coordenades del vector de desplaçament en la base $B$?

Donat el paral·lelogram $ABCD$ de la figura, expressa els vectors corresponents a les diagonals $\vec{AC}$ i $\vec{BD}$ com a combinació lineal dels vectors dels costats $\vec{u} = \vec{AB}$ i $\vec{v} = \vec{AD}$.

Una empresa de logística utilitza dos tipus de furgonetes. La capacitat de càrrega de la furgoneta tipus A es representa pel vector $\vec{a} = (3, 2)$, indicant 3 palets de fruita i 2 de verdura. La tipus B es representa per $\vec{b} = (1, 4)$. Si un centre comercial fa una comanda exacta d'11 palets de fruita i 14 de verdura, representada per $\vec{p} = (11, 14)$, troba els escalars de la combinació lineal $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ per determinar quants viatges de cada furgoneta es necessiten.

Determina un vector $\vec{v}$ tal que el conjunt $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ formi una base ortonormal, sabent que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. És única la solució? Justifica la teva resposta.

Un dron submarí es desplaça en un entorn amb corrents marins. El seu sistema de navegació autònoma utilitza una base formada pels vectors $\vec{c}_1 = (1, 2)$ i $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. El dron registra un desplaçament $\vec{w}$ les coordenades del qual en aquesta base són $(4, -1)_B$. Calcula les coordenades del vector $\vec{w}$ en la base canònica.

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè els vectors $\vec{u} = (a, 3)$ i $\vec{v} = (-2, b)$ formin una base ortogonal, sabent a més que el mòdul del vector $\vec{u}$ és exactament $5$.

En el pla adjunt es mostren els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Determina les coordenades en la base canònica del vector resultant $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

Al centre de control de Salvament Marítim a Tarifa (Cádiz), un operador monitora un dron de rescat a l'Estret. A causa de les condicions ambientals locals, l'autopilot descompon els moviments en dues direccions de referència: la del vent dominant de Llevant $\vec{v}_L = (4, 1)$ i la del corrent marí superficial $\vec{v}_C = (-1, 3)$ (ambdues velocitats expressades en $\text{m/s}$ respecte a uns eixos canònics ortonormals).

1. a) Justifica analíticament que $B = \{\vec{v}_L, \vec{v}_C\}$ forma una base de $\mathbb{R}^2$ i comprova si es tracta d'una base ortogonal.
2. b) El dron ha d'assolir una velocitat resultant respecte a terra de $\vec{v}_{req} = (11, 6)\text{ m/s}$. Modela aquesta situació expressant $\vec{v}_{req}$ com a combinació lineal de $\vec{v}_L$ i $\vec{v}_C$ per obtenir les seves coordenades en la base $B$.
3. c) Els propulsors del dron només poden subministrar un factor d'empenyiment en la direcció del corrent entre $-1$ i $2$ unitats. A la vista de les coordenades obtingudes, interpreta si la maniobra és físicament viable amb aquesta configuració.

Es vol expressar el vector $\vec{w} = (2, 11)$ com a combinació lineal dels vectors de la base $B = \{\vec{u} = (3, 4), \vec{v} = (-4, 3)\}$ per trobar les seves coordenades $(a, b)_B$.

Per resoldre-ho es plantegen dos camins:

• Mètode 1 (Algebraic general): Plantejar el sistema $a(3, 4) + b(-4, 3) = (2, 11)$ i resoldre'l per substitució, igualació o reducció.

• Mètode 2 (Aprofitament de l'ortogonalitat): Comprovar que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ i aplicar que, en una base ortogonal, en fer el producte escalar a banda i banda de $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ amb cada vector de la base s'obté directament $a = \frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}$ i $b = \frac{\vec{w} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}$.

1. a) Fes els càlculs complets aplicant ambdós mètodes i verifica que condueixen al mateix resultat.
2. b) Compara ambdós procediments: justifica quin resulta més avantatjós pel que fa a agilitat i menor probabilitat d'error operatiu, i explica per què el Mètode 2 fallaria si la base no fos ortogonal.

Demostra analíticament que si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ és una base dels vectors del pla, aleshores el conjunt $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ també forma una base. Si un vector $\vec{w}$ té coordenades $(3, 5)$ en la base $B$, troba les seves coordenades en la nova base $B'$.

Per garantir l'estabilitat d'un node en una estructura reticular plana, els vectors directors de dues barres concurrents han de ser linealment independents. Els vectors de disseny són $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ i $\vec{d}_2 = (2, k)$. Determina per a quins valors del paràmetre $k$ el node és inestable (els vectors no formen base). Posteriorment, assumint $k=0$, expressa el vector de càrrega externa $\vec{P} = (4, -6)$ com a combinació lineal de $\vec{d}_1$ i $\vec{d}_2$.

En l'hexàgon regular $ABCDEF$ de centre $O$ mostrat a la figura, es defineixen els vectors base $\vec{u} = \vec{AB}$ i $\vec{v} = \vec{AF}$. Expressa els vectors $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ i $\vec{BC}$ com a combinació lineal de la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.

En l'estudi d'una xarxa cristal·lina bidimensional, es defineixen dues bases per al pla: la base primitiva $B_1 = \{\vec{a}_1, \vec{a}_2\}$ i una base secundària $B_2 = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$. Sabent que $\vec{b}_1 = 2\vec{a}_1 - \vec{a}_2$ i $\vec{b}_2 = \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$, troba les coordenades en la base $B_1$ d'un defecte puntual el vector de posició del qual en la base $B_2$ és $\vec{d} = (-1, 2)_{B_2}$.

Siguin $\vec{u}$ i $\vec{v}$ dos vectors no nuls tals que l'angle que formen és de $60^\circ$, amb $|\vec{u}| = 2$ i $|\vec{v}| = 3$. Si es defineix el vector $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, calcula la relació que hi ha d'haver entre els paràmetres $m$ i $n$ perquè el vector $\vec{w}$ sigui perpendicular al vector $\vec{u}$.

El braç d'un robot industrial es mou en un pla definit per una base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ que és ortogonal però no ortonormal, on $|\vec{e}_1| = 2$ i $|\vec{e}_2| = 4$. Una ordre de trajectòria li indica desplaçar-se segons el vector $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calcula el mòdul exacte del vector de desplaçament $\vec{v}$ i el cosinus de l'angle que forma amb el vector de la base $\vec{e}_1$.

Troba tots els vectors $\vec{x} = (x_1, x_2)$ que, expressats com a combinació lineal de la base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, tenen coordenades $(a, b)_B$ tals que $a = b$ i, a més, compleixen que el seu mòdul en la base canònica és exactament $\sqrt{45}$.

Donats els punts $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ i $C(x, y)$, determina les coordenades del punt $C$ sabent que els vectors $\vec{u} = \vec{AB}$ i $\vec{v} = \vec{AC}$ formen una base del pla en la qual el vector $\vec{w} = (0, -6)$ té per coordenades $(2, -1)_B$.

Un dissenyador tècnic necessita configurar un sistema de coordenades obliqües $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ en el pla de treball. Es coneixen els requisits següents:

1. El primer vector de la base té la forma $\vec{u} = (1, k)$ i el segon vector té la forma $\vec{v} = (m, 1)$, amb $k, m \in \mathbb{R}$.

2. Els vectors han de ser perpendiculars entre si, de manera que la base $B$ sigui ortogonal.

3. Un punt d'ancoratge situat en la posició canònica $\vec{w} = (5, 5)$ ha de tenir per coordenades en la base $B$ exactament $(a, b)_B = (3, -1)$.

1. a) Planteja i resol el sistema d'equacions que permet determinar els valors numèrics de $k$ i $m$.
2. b) Determina si la base obtinguda $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ és ortonormal. En cas negatiu, construeix a partir d'aquesta una base ortonormal $B' = \{\vec{u}', \vec{v}'\}$ mantenint els mateixos sentits i calcula les noves coordenades de $\vec{w}$ en $B'$.
3. c) Demostra que el mòdul del vector $\vec{w}$ coincideix tant si es calcula amb les seves components canòniques com si es calcula mitjançant la fórmula euclidiana usual aplicada a les seves coordenades en la base ortonormal $B'$, i reflexiona breument per què això no passa amb les seves coordenades en la base $B$.

En una base d'operacions del 061 al Pirineu aragonès, l'equip de navegació aèria estudia les trajectòries d'un helicòpter de rescat. Dos vents de vall habituals vénen descrits pels vectors $\vec{v}_1 = (2, 1)$ i $\vec{v}_2 = (k, 3)$, mesurats en nusos.

1. a) Troba el valor del paràmetre real $k$ per al qual els vectors $\vec{v}_1$ i $\vec{v}_2$ són linealment dependents. Explica quina limitació geomètrica i operativa suposaria per a la navegació de l'helicòpter que $k$ prengués aquest valor crític.
2. b) Per a $k = -1$, demostra que $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ és una base de $\mathbb{R}^2$ i troba les coordenades en aquesta base del vector de maniobra $\vec{w} = (5, 6)$.
3. c) Un copilot formula la hipòtesi general següent: «Si als dos vectors de qualsevol base $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ de $\mathbb{R}^2$ se'ls suma un mateix vent de ràfega no nul $\vec{r} = (1, 2)$, el nou conjunt resultant $B' = \{\vec{v}_1 + \vec{r}, \vec{v}_2 + \vec{r}\}$ sempre continuarà sent una base de $\mathbb{R}^2$». Demostra si l'afirmació del copilot és vertadera o falsa analitzant algebraicament la dependència lineal de $B'$ en funció de $k$ i proporcionant, si s'escau, un contraexemple explícit.