Combinaciones lineales de vectores. Bases

Calcula las coordenadas del vector resultante de la combinación lineal $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabiendo que $\vec{a} = (1, 4)$ y $\vec{b} = (-2, 5)$.

Sabiendo que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, con $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ y $\vec{w} = (2, 7)$, halla el valor del escalar $k$.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -3)$ y $\vec{v} = (-4, 6)$, justifica matemáticamente si pueden formar una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$.

Determina el valor del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{p} = (m, 4)$ y $\vec{q} = (3, -2)$ sean linealmente dependientes.

Razona si tres vectores no nulos en el plano, por ejemplo $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ y $\vec{w} = (3, 0)$, pueden ser linealmente independientes simultáneamente.

Expresa el vector $\vec{c} = (5, -2)$ como combinación lineal de los vectores de la base canónica $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$.

En el motor físico de un videojuego, el movimiento de un personaje se define en una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, donde $\vec{u} = (2, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$. Si el personaje debe desplazarse al punto indicado por el vector $\vec{d} = (8, -3)$ respecto a la base canónica, ¿cuáles serán las coordenadas del vector de desplazamiento en la base $B$?

Comprueba si el conjunto de vectores $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonal del plano.

Comprueba si los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (0, -2)$ forman una base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.

Determina un vector $\vec{v}$ tal que el conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme una base ortonormal, sabiendo que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. ¿Es única la solución? Justifica tu respuesta.

Un dron submarino se desplaza en un entorno con corrientes marinas. Su sistema de navegación autónoma utiliza una base formada por los vectores $\vec{c}_1 = (1, 2)$ y $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. El dron registra un desplazamiento $\vec{w}$ cuyas coordenadas en esta base son $(4, -1)_B$. Calcula las coordenadas del vector $\vec{w}$ en la base canónica.

Dos remolcadores tiran de un barco averiado con fuerzas $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N y $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un tercer remolcador se une aplicando una fuerza $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Expresa la fuerza $\vec{F}_3$ como combinación lineal de los vectores $\vec{F}_1$ y $\vec{F}_2$, hallando las coordenadas de $\vec{F}_3$ en la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

Demuestra analíticamente que si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ es una base de los vectores del plano, entonces el conjunto $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ también forma una base. Si un vector $\vec{w}$ tiene coordenadas $(3, 5)$ en la base $B$, halla sus coordenadas en la nueva base $B'$.