Teorema del seno
Hasta ahora solo sabías resolver triángulos rectángulos. En topografía, navegación o ingeniería los triángulos casi nunca tienen un ángulo recto: necesitas una herramienta que funcione con cualquier triángulo. El teorema del seno es la primera.
El teorema y la circunferencia circunscrita
En cualquier triángulo $ABC$, cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto, y esa razón es siempre el diámetro de la circunferencia que pasa por los tres vértices.
En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ cm. Calcula la longitud del lado $b$ utilizando el teorema…
En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ cm. Calcula la longitud del lado $b$ utilizando el teorema del seno.
En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ cm y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ cm y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ cm. Calcula la longitud del lado desigual aplicando directamente el teorema…
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ cm. Calcula la longitud del lado desigual aplicando directamente el teorema del seno.
Calcular un ángulo: el caso ambiguo
Cuando el dato desconocido es un ángulo (lado-lado-ángulo), despejar el seno puede dar dos soluciones válidas: un ángulo agudo y su suplementario, porque $\sin(180^\circ-x)=\sin x$.
Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ cm, $b = 10$ cm y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determina el valor del ángulo $B$.
Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ cm, $b = 10$ cm y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determina el valor del ángulo $B$.
Determina si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm y $A = 45^\circ$. Justifica tu respuesta matemáticamente empleando…
Determina si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm y $A = 45^\circ$. Justifica tu respuesta matemáticamente empleando el teorema del seno.
En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ cm, $b = 14$ cm y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcula los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes…
En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ cm, $b = 14$ cm y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcula los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes correspondientes del lado $c$ para cada caso.
Triangulación: distancias con dos ángulos
En topografía y navegación, lo normal es medir dos ángulos desde dos puntos (nunca una distancia inaccesible directamente) y aplicar el teorema del seno al triángulo que se forma.
Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ km a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La…
Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ km a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La estación $A$ detecta la señal formando un ángulo de $40^\circ$ con la línea de la costa, mientras que la estación $B$ la detecta con un ángulo de $65^\circ$. Calcula la distancia en línea recta desde cada estación hasta el barco.
Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ m de la base de la torre, exactamente en la…
Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ m de la base de la torre, exactamente en la dirección hacia la que esta se inclina. Desde ese punto, mide el ángulo de elevación hasta la cúspide de la torre, obteniendo $50^\circ$. Calcula la longitud total de la torre desde su base hasta la cúspide.
Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ m por detrás de $A$ en el mismo…
Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ m por detrás de $A$ en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevación hacia $C$ es de $22^\circ$. Desde la estación $A$, el ángulo de elevación hacia la cima es de $35^\circ$. Calcula la longitud del cable $AC$ del teleférico resolviendo el triángulo $ADC$.
Área y problemas combinados
El teorema del seno también resuelve polígonos regulares (dividiéndolos en triángulos isósceles desde el centro) y problemas de área cuando conoces un lado y los dos ángulos adyacentes.
Calcula el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Utiliza el teorema del seno en los…
Calcula el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Utiliza el teorema del seno en los triángulos isósceles que se forman desde el centro del polígono.
Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro…
Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro recto que mide $120$ m. Calcula el área total de la parcela.
La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$…
La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$ situado $50$ m más arriba que $A$ a lo largo de la pendiente. En el punto $B$ se ha instalado un poste vertical de telecomunicaciones. Desde el punto $A$, el ángulo de elevación hasta el extremo superior del poste es de $42^\circ$ medido desde la horizontal. Calcula la altura exacta del poste.