Triángulos rectángulos
El teorema de la altura y el del cateto no son solo fórmulas para memorizar: son la base de técnicas reales para medir cosas que no puedes medir con una cinta métrica, desde la altura de un aerogenerador hasta la anchura de un río. En este apartado los vas a aplicar en contexto.
Repaso rápido: altura y cateto
En un tejado a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de…
En un tejado a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de $2\text{ m}$ y $8\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la altura máxima del tejado.
Dos señales de tráfico con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el…
Dos señales de tráfico con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el cateto menor de la señal grande mide $60\text{ cm}$, ¿cuál es el área de la señal grande?
Comprobar si dos triángulos rectángulos son semejantes
Para que dos triángulos rectángulos sean semejantes basta con que tengan proporcionales los dos catetos, o un cateto y la hipotenusa: el ángulo recto ya lo comparten.
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de…
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de $50\text{ cm}$ y un cateto de $30\text{ cm}$. Comprueba matemáticamente si ambas cuñas son semejantes.
El mástil central de una carpa forma un ángulo recto con las dos cuerdas principales que lo sujetan desde la parte superior hasta el suelo. El mástil mide $4\text{ m}$…
El mástil central de una carpa forma un ángulo recto con las dos cuerdas principales que lo sujetan desde la parte superior hasta el suelo. El mástil mide $4\text{ m}$ de altura y una de las cuerdas se ancla a $3,2\text{ m}$ de la base del mástil. ¿A qué distancia de la base se ancla la otra cuerda?
El método del espejo
Un espejo plano en el suelo refleja los ángulos igual que los produce: el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Eso crea dos triángulos rectángulos semejantes —el de tus ojos y el espejo, y el del objeto y el espejo— que permiten calcular alturas inaccesibles sin subir a ningún sitio.
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el…
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el espejo hasta que ve el punto más alto del aerogenerador reflejado exactamente en el centro del espejo. Si los ojos de la ingeniera están a $1,6\text{ m}$ del suelo, calcula la altura del aerogenerador.
Triángulos superpuestos: billares y cuadrados inscritos
Cuando una figura esconde dos triángulos rectángulos que comparten un ángulo (y por tanto son semejantes), la proporción entre sus lados resuelve problemas que a simple vista no parecen de semejanza.
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la…
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la banda y el agujero a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia horizontal paralela a la banda entre la bola y el agujero es de $100\text{ cm}$, ¿a qué distancia horizontal desde la posición inicial de la bola debe producirse el impacto en la banda?
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del…
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del ángulo recto del triángulo coincide con un vértice del cuadrado y el vértice opuesto del cuadrado descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor de $x$ utilizando semejanza de triángulos.
Medir una anchura inaccesible: el método del jalón
Para medir la anchura de un río sin cruzarlo, se usan dos triángulos rectángulos semejantes construidos con jalones en una sola orilla: uno grande (hasta el árbol de la otra orilla) y uno pequeño que sí puedes medir entero.
Un topógrafo quiere calcular la anchura de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la…
Un topógrafo quiere calcular la anchura de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla (perpendicularmente a la visual inicial) y coloca un jalón. Luego camina otros $6\text{ m}$ en la misma dirección, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta que ve el jalón alineado con el árbol. ¿Cuál es la anchura del río?
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a…
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos que están en proporción $9:16$. Si la altura mide $6\text{ m}$, calcula el perímetro total del triángulo que forma el techo.