Reducción al primer cuadrante e identidad fundamental
Ya sabes situar un ángulo en su cuadrante y saber el signo de sus razones. El siguiente paso es aprovechar la simetría de la circunferencia goniométrica: ángulos distintos pueden compartir, salvo el signo, el mismo seno o el mismo coseno que un ángulo del primer cuadrante. Eso permite calcular cualquier razón sin memorizar tabla alguna, más allá de los ángulos notables de $30º$, $45º$ y $60º$.
Reducir cualquier ángulo al primer cuadrante
Dos ángulos simétricos respecto al eje $Y$ (como $30º$ y $150º$) tienen puntos a la misma altura: el mismo seno. Dos ángulos simétricos respecto al eje $X$ (como $30º$ y $330º$) tienen la misma abscisa: el mismo coseno. Esta simetría es la que permite "reducir" cualquier ángulo a uno del primer cuadrante.
En la figura se han representado los ángulos de $30º$ y $150º$ en la circunferencia goniométrica. A la vista de la simetría de la figura, expresa $\sin 150º$ y…
En la figura se han representado los ángulos de $30º$ y $150º$ en la circunferencia goniométrica.
A la vista de la simetría de la figura, expresa $\sin 150º$ y $\cos 150º$ en función de $\sin 30º$ y $\cos 30º$, indicando el signo correcto de cada una.
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo: $\sin 210º$ $\cos 225º$ $\tan 240º$
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo:
-
$\sin 210º$
-
$\cos 225º$
-
$\tan 240º$
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo: $\sin 330º$ $\cos 315º$ $\tan 300º$
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo:
-
$\sin 330º$
-
$\cos 315º$
-
$\tan 300º$
La identidad fundamental, con cuidado con el signo
La identidad fundamental $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ sigue valiendo para cualquier ángulo, no solo para los agudos: sale de aplicar Pitágoras al triángulo de referencia, cuya hipotenusa es siempre el radio $1$. Lo que cambia respecto a un triángulo rectángulo normal es que, al despejar una raíz cuadrada, hay que elegir el signo según el cuadrante, en vez de quedarse siempre con el positivo.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$.
Sabiendo que $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\tan \alpha$.
Sabiendo que $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\tan \alpha$.
Una alumna ha escrito esta resolución: > «Si $\cos \alpha = -0,8$ y $\alpha$ está en el segundo cuadrante, entonces: >…
Una alumna ha escrito esta resolución:
«Si $\cos \alpha = -0,8$ y $\alpha$ está en el segundo cuadrante, entonces:
$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = -0,6$»
Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$.
Ecuaciones trigonométricas: todas las soluciones
Si te dicen que $\sen\ x = \dfrac12$, hay más de un ángulo que lo cumple entre $0º$ y $360º$: la recta horizontal $y=\dfrac12$ corta a la circunferencia goniométrica en dos puntos, uno en cada uno de dos cuadrantes distintos.
En la figura se ha representado la circunferencia goniométrica y la recta horizontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la corta en dos puntos. Halla todos los ángulos $x$ de…
En la figura se ha representado la circunferencia goniométrica y la recta horizontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la corta en dos puntos.
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\sin x = \frac{1}{2}$, razonando a partir de la figura.
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, indicando a qué cuadrantes pertenecen.
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, indicando a qué cuadrantes pertenecen.
En la figura se han representado los ángulos de $60º$ y $120º$, que son suplementarios. Sabiendo que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ y…
En la figura se han representado los ángulos de $60º$ y $120º$, que son suplementarios.
Sabiendo que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ y $\cos 60º = \frac{1}{2}$, calcula $\sin 120º$ y $\cos 120º$ razonando a partir de la simetría de la figura.
Más allá de 360º: infinitas soluciones
Como las razones trigonométricas se repiten exactamente igual cada vuelta completa, una ecuación como $\tg\ x = 1$ no tiene solo las soluciones de $[0º,360º)$: tiene infinitas, una cada $180º$ (para seno y coseno, cada $360º$). Esto se llama periodicidad, y es clave en cualquier fenómeno que gira o se repite, como la pala de un aerogenerador.
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\tan x = 1$. Razona, con la circunferencia goniométrica, cuántas soluciones tendría la misma ecuación en el…
-
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\tan x = 1$.
-
Razona, con la circunferencia goniométrica, cuántas soluciones tendría la misma ecuación en el intervalo $[0º, 720º)$ y escríbelas todas.
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, razonando cuántas soluciones hay y a qué cuadrantes pertenecen.
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, razonando cuántas soluciones hay y a qué cuadrantes pertenecen.
La punta de la pala de un aerogenerador describe una circunferencia de radio $1\ \text{m}$ (en unidades relativas) alrededor del eje del rotor. Si llamamos $\theta$ al…
La punta de la pala de un aerogenerador describe una circunferencia de radio $1\ \text{m}$ (en unidades relativas) alrededor del eje del rotor. Si llamamos $\theta$ al ángulo que forma la pala con la horizontal, medido en sentido antihorario, la altura de la punta respecto al centro es $\sin \theta$ y su desplazamiento horizontal es $\cos \theta$.
-
Completa una tabla con la altura y el desplazamiento horizontal de la punta para $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ y $270º$.
-
La pala gira $40$ veces por minuto. Al cabo de un tiempo, la punta está a una altura de $0,5\ \text{m}$ sobre el centro. ¿Qué valores de $\theta$ entre $0º$ y $360º$ corresponden a esa altura?
-
¿Y a una altura de $-0,5\ \text{m}$?
Demostrar identidades reduciendo paso a paso
Las fórmulas de reducción ($180º-\alpha$, $180º+\alpha$, $360º-\alpha$...) no son solo para calcular un valor numérico: también sirven para demostrar que una expresión con varios ángulos relacionados es siempre igual a otra más sencilla, sea cual sea $\alpha$.
Sabiendo que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ y que $\alpha$ pertenece al cuarto cuadrante: Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$. Calcula…
Sabiendo que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ y que $\alpha$ pertenece al cuarto cuadrante:
-
Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.
-
Calcula $\sin(180º - \alpha)$.
-
Calcula $\cos(180º + \alpha)$.
Demuestra que, para cualquier ángulo $\alpha$, se verifica: $$\sin(180º - \alpha)\cdot\cos(360º - \alpha) + \cos(180º + \alpha)\cdot\sin(180º + \alpha) = 2\cdot\sin…
Demuestra que, para cualquier ángulo $\alpha$, se verifica:
$$\sin(180º - \alpha)\cdot\cos(360º - \alpha) + \cos(180º + \alpha)\cdot\sin(180º + \alpha) = 2\cdot\sin \alpha\cdot\cos \alpha$$(Indicación: reduce primero cada razón al primer cuadrante.)