Exercicis: Teorema del sinus

En un triangle $ABC$, es coneixen els angles $A = 45^\circ$ i $B = 60^\circ$, i la longitud del costat $a = 12$ cm. Calcula la longitud del costat $b$ utilitzant el teorema del sinus.

Donat un triangle $ABC$ del qual es coneixen els costats $a = 15$ cm, $b = 10$ cm i l'angle obtús $A = 120^\circ$. Determina el valor de l'angle $B$.

En un triangle qualsevol, el costat $c$ mesura $24$ cm i l'angle oposat $C$ mesura $30^\circ$. Calcula el radi $R$ de la circumferència circumscrita a aquest triangle.

En el triangle $ABC$, es sap que la longitud del costat $a$ és el doble que la del costat $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0,8$, troba el valor exacte de $\sin B$.

Un triangle $PQR$ té els angles $P = 50^\circ$ i $Q = 75^\circ$. Si el costat $r = 20$ m, calcula la longitud del costat $p$.

Determina si és possible construir un triangle $ABC$ amb les següents dades: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm i $A = 45^\circ$. Justifica la teva resposta matemàticament emprant el teorema del sinus.

En un triangle isòsceles, l'angle desigual mesura $40^\circ$ i els costats iguals mesuren $15$ cm. Calcula la longitud del costat desigual aplicant directament el teorema del sinus.

Els costats d'un triangle són proporcionals als sinus dels seus angles oposats. Si la relació entre dos costats és $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ i l'angle $B = 30^\circ$, troba la mesura de l'angle $A$, sabent per endavant que és un angle agut.

En un examen de Trigonometria, en Marcos ha de resoldre un triangle del qual es coneixen $a = 14\text{ cm}$, $b = 9\text{ cm}$ i $A = 35^\circ$. Per trobar l'angle $B$, en Marcos escriu:

I conclou: «Com que la funció sinus és positiva tant en el primer quadrant com en el segon, hi ha dues solucions possibles: $B_1 = \arcsin(0,3687) \approx 21,63^\circ$ i $B_2 = 180^\circ - 21,63^\circ = 158,37^\circ$. Per tant, hi ha dos triangles diferents que compleixen les dades». Localitza l'error conceptual que comet en Marcos, explica mitjançant dos arguments geomètrics diferents per què la solució $B_2$ és impossible en aquest triangle i calcula la mesura correcta dels angles restants $B$ i $C$.

En un triangle $ABC$ es coneixen els angles $A = 70^\circ$ i $B = 30^\circ$, així com la longitud del costat $a = 20\text{ m}$.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric, estima raonadament si el costat $b$ mesurarà més o menys de la meitat del costat $a$. Basa la teva estimació comparant el valor exacte de $\sin 30^\circ$ amb el comportament de la funció sinus quan l'angle s'aproxima a $90^\circ$.
2. b) Aplica el teorema del sinus per calcular la longitud exacta de $b$, arrodonint el resultat a dues xifres decimals.
3. c) Comprova si el valor obtingut confirma la teva estimació inicial i reflexiona: per què en un triangle els costats no són proporcionals als angles, sinó als seus sinus?

En el triangle $ABC$, es coneixen els costats $a = 10$ cm, $b = 14$ cm i l'angle $A = 30^\circ$. Calcula els dos possibles valors per a l'angle $B$ i les longituds corresponents del costat $c$ per a cada cas.

Dues estacions de guardacostes, $A$ i $B$, estan separades per una distància de $50$ km al llarg d'una costa rectilínia. Un vaixell $S$ emet un senyal de socors. L'estació $A$ detecta el senyal formant un angle de $40^\circ$ amb la línia de la costa, mentre que l'estació $B$ la detecta amb un angle de $65^\circ$. Calcula la distància en línia recta des de cada estació fins al vaixell.

Una torre antiga s'ha inclinat i ara forma un angle de $85^\circ$ amb el sòl horitzontal. Un topògraf es situa a $40$ m de la base de la torre, exactament en la direcció cap a la qual aquesta s'inclina. Des d'aquest punt, mesura l'angle d'elevació fins a la cúspide de la torre, obtenint $50^\circ$. Calcula la longitud total de la torre des de la seva base fins a la cúspide.

Calcula el perímetre d'un heptàgon regular (polígon de 7 costats) que està inscrit en una circumferència de radi $R = 10$ cm. Utilitza el teorema del sinus en els triangles isòsceles que es formen des del centre del polígon.

Una parcel·la de terreny amb forma triangular té dos angles que mesuren $60^\circ$ i $75^\circ$. El costat comprès entre aquests dos angles està delimitat per un mur recte que mesura $120$ m. Calcula l'àrea total de la parcel·la.

En un triangle $ABC$, es compleix la proporció $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma dels angles $A + B = 120^\circ$ i el costat $a = 12\sqrt{3}$ cm, determina la longitud exacta del costat $c$.

Un telefèric ascendeix en línia recta des d'una estació base $A$ fins al cim $C$ d'una muntanya. Des d'un punt $D$, situat $200$ m per darrere de $A$ en el mateix pla horitzontal, l'angle d'elevació cap a $C$ és de $22^\circ$. Des de l'estació $A$, l'angle d'elevació cap al cim és de $35^\circ$. Calcula la longitud del cable $AC$ del telefèric resolent el triangle $ADC$.

Dos observadors $A$ i $B$ estan separats per $1200$ km en la superfície terrestre (distància que considerarem rectilínia per a aquest càlcul local). Tots dos observen un satèl·lit $S$ que transita en el mateix pla vertical que els uneix, de manera que la seva projecció sobre el terra queda entre $A$ i $B$. L'angle d'elevació mesurat des de $A$ és de $82^\circ$ i el mesurat des de $B$ és de $85^\circ$. Calcula la distància exacta des de l'observador $A$ fins al satèl·lit.

El servei de vigilància d'incendis forestals de Castella-la Manxa disposa de dos llocs d'observació, el Lloc $A$ i el Lloc $B$, situats en una plana i separats per una distància en línia recta de $6\text{ km}$. Ambdós llocs albiren una mateixa columna de fum en un punt $C$.

Des del Lloc $A$, la visual cap a l'incendi forma un angle de $42^\circ$ amb el segment rectilini $AB$. Des del Lloc $B$, la visual cap al foc forma un angle de $68^\circ$ amb aquest mateix segment $AB$.

1. a) Modela la situació mitjançant un triangle i calcula, emprant el teorema del sinus, a quina distància es troba el focus de l'incendi respecte de cadascun dels llocs de vigilància (arrodoneix els resultats a dos decimals).
2. b) Si s'envia un helicòpter amb base contigua al Lloc $B$ que vola en línia recta cap al foc a una velocitat mitjana de $150\text{ km/h}$, calcula quants minuts trigarà a arribar al lloc de l'incendi.

Per construir una peça triangular $ABC$, un operari fixa el costat $b = 10\text{ cm}$ i l'angle $A = 30^\circ$, però pot variar a voluntat la longitud del costat oposat $a$.

1. a) A partir del teorema del sinus, escriu l'expressió que permet calcular $\sin B$ en funció de la longitud $a$.
2. b) Determina raonadament per a quins valors exactes o intervals de la longitud $a$ té lloc cadascun dels casos següents:

i) No és possible construir cap triangle amb aquestes mesures.

ii) Es pot construir exactament un triangle i aquest és rectangle.

iii) Es poden construir dos triangles diferents no congruents.

iv) Es pot construir un únic triangle i aquest no és rectangle.

1. c) Interpreta geomètricament què representa el valor crític de $a$ trobat en el cas ii) en relació amb l'altura traçada des del vèrtex $C$.

Demostra, partint del teorema del sinus, que en qualsevol triangle $ABC$ es compleix la següent identitat trigonomètrica que relaciona els seus costats i angles:

$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$

En un triangle $ABC$, la bisectriu interior de l'angle $A$ talla el costat oposat $BC$ en el punt $D$. Aplica el teorema del sinus en els triangles $ABD$ i $ACD$ per demostrar formalment el teorema de la bisectriu, és a dir, que es compleix la proporció:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$

Demostra que el radi $R$ de la circumferència circumscrita a un triangle $ABC$ està directament relacionat amb l'àrea del triangle $S$ mitjançant la fórmula:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$

(Pista: Expressa l'àrea del triangle utilitzant el sinus d'un dels seus angles i combina-ho amb el teorema del sinus).

En la construcció d'un triangle $ABC$, es fixen el costat $a = 10$ cm i l'angle $A = 45^\circ$. El costat $b$ té una longitud variable $x$ cm. Determina, de forma raonada, l'interval estricte de valors reals de $x$ per als quals existeixen exactament dos triangles diferents que compleixen aquestes condicions simultàniament.

El vessant d'una muntanya presenta una inclinació constant de $15^\circ$ respecte al pla horitzontal. Dos punts $A$ i $B$ es troben sobre el vessant, essent $B$ situat $50$ m més amunt que $A$ al llarg del pendent. En el punt $B$ s'ha instal·lat un pal vertical de telecomunicacions. Des del punt $A$, l'angle d'elevació fins a l'extrem superior del pal és de $42^\circ$ mesurat des de la horitzontal. Calcula l'altura exacta del pal.

En un triangle $ABC$, l'angle $A$ és exactament el doble de l'angle $B$ ($A = 2B$). Demostra, emprant el teorema del sinus i les identitats trigonomètriques de l'angle doble, que les longituds dels costats compleixen la relació $a = 2b \cos B$.

En un triangle $ABC$, les longituds dels costats $a$, $b$ i $c$ es troben en progressió aritmètica, complint-se la relació $2b = a + c$. Demostra que els sinus dels angles oposats mantenen una relació anàloga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.

Un avió vola en línia recta a una altitud constant. Un observador estàtic a terra el divisa inicialment amb un angle d'elevació de $30^\circ$. Exactament $10$ segons després, l'avió, que vola directament cap a la vertical de l'observador, és divisat amb un angle d'elevació de $45^\circ$. Si la velocitat constant de l'avió és de $600$ km/h, calcula l'altitud a la qual vola resolent el triangle format per l'observador i les dues posicions de l'avió mitjançant el teorema del sinus.

Es vol calcular el perímetre d'un parterre triangular $ABC$ inscrit en una rotonda circular de radi $R = 8\text{ m}$. Es coneixen els angles interiors $A = 45^\circ$ i $B = 60^\circ$.

Per resoldre el problema es plantegen dues estratègies:

• Estratègia 1: Traçar l'altura des del vèrtex $C$ per dividir el triangle en dos triangles rectangles, calcular les altures i projeccions fent servir trigonometria elemental d'angles notables i aïllar els costats mitjançant sistemes d'equacions.

• Estratègia 2: Calcular el tercer angle $C$ i aplicar la relació estesa del teorema del sinus ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$).

1. a) Compara raonadament ambdós mètodes valorant la seva eficiència operativa (nombre de passos de càlcul) i el risc d'arrossegament d'errors d'arrodiment. Justifica quin dels dos és preferible.
2. b) Aplica l'estratègia més avantatjosa per trobar el valor exacte del perímetre en funció de radicals (utilitza que $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$) i obtén el seu valor numèric aproximat en metres amb dues xifres decimals.

Una empresa de telecomunicacions instal·la una estructura triangular rígida $ABC$ els tres vèrtexs de la qual s'han de recolzar sobre una guia circular de radi $R = 10\text{ m}$. Per condicionants tècnics de les barres disponibles, es fixa que el costat $a$ ha de mesurar $14\text{ m}$ i el costat $b$ ha de mesurar $18\text{ m}$.

1. a) Empra la relació estesa del teorema del sinus per obtenir tots els possibles valors angulars per als vèrtexs $A$ i $B$ (arrodonits a dos decimals de grau).
2. b) Analitza de manera exhaustiva les quatre combinacions possibles de parelles d'angles $(A, B)$ i determina quants triangles geomètricament viables i no congruents es poden construir. Per a cada triangle vàlid, calcula la mesura de l'angle $C$ i la longitud del costat restant $c$.
3. c) La normativa tècnica exigeix que l'estructura sigui estrictament acutangle per distribuir homogèniament les tensions del vent. Justifica si algun dels triangles viables compleix aquest requisit i, en cas afirmatiu, calcula l'àrea de la superfície que delimita aquesta estructura utilitzant la fórmula de l'àrea que relaciona dos costats i el sinus de l'angle comprès.