Exercicis: Raons trigonomètriques d'un angle

Transforma a radians els angles de $135^\circ$ i $330^\circ$, i expressa en graus sexagesimals els angles de $\frac{5\pi}{6}$ rad i $\frac{7\pi}{4}$ rad.

Calcula el valor exacte del sinus, cosinus i tangent de l'angle més petit d'un triangle rectangle sabent que els seus catets mesuren $5$ cm i $12$ cm.

Sabent que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ i que $\alpha$ és un angle agut, troba el valor exacte de $\sin \alpha$ i $\tan \alpha$ utilitzant les identitats trigonomètriques fonamentals.

Avalua l'expressió següent substituint les raons trigonomètriques pels seus valors exactes, sense utilitzar la calculadora:

$\sin^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) - \tan(60^\circ) \cdot \sin(60^\circ)$

Determina en quin quadrant es troba l'angle $\beta$ si es compleix simultàniament que $\sin \beta < 0$ i $\tan \beta > 0$.

Troba l'angle equivalent en la primera volta (comprès entre $0^\circ$ i $360^\circ$) per a l'angle de $1950^\circ$ i determina el signe de la seva secant i de la seva cotangent.

En un triangle rectangle, la tangent d'un dels seus angles aguts és $\frac{3}{4}$. Determina el valor exacte de la secant i la cosecant d'aquest angle.

Calcula el valor numèric de la següent expressió trigonomètrica corresponent a angles situats sobre els semiaxos:

$3\sin(90^\circ) - 2\cos(180^\circ) + 4\sin(270^\circ) - \cos(360^\circ)$

La Lucía ha de calcular les raons trigonomètriques de l'angle $\alpha$, sabent que pertany al segon quadrant i que $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. En el seu examen escriu:

i a continuació conclou que $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

1. a) Assenyala amb precisió l'error conceptual comès per la Lucía i explica, recolzant-te en la circumferència goniomètrica, per què el seu resultat per al signe de $\cos\alpha$ i de $\tan\alpha$ és incoherent amb el quadrant indicat.
2. b) Corregeix la resolució i calcula el valor numèric exacte de $\cos\alpha$ i de $\tan\alpha$.

Considera l'angle $\alpha = 210^\circ$.

1. a) Sense recórrer a la calculadora ni fer càlculs analítics previs, fes una estimació raonada situant l'angle a la circumferència goniomètrica: indica a quin quadrant pertany, dedueix el signe de $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ i $\tan 210^\circ$, i justifica quina de les dues quantitats en valor absolut ha de ser més gran, $|\sin 210^\circ|$ o $|\cos 210^\circ|$, atenent a si el radi apunta més a prop de l'eix horitzontal o del vertical.
2. b) Dedueix ara els valors numèrics exactes de $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ i $\tan 210^\circ$ relacionant aquest angle amb el seu angle notable corresponent del primer quadrant ($30^\circ$).
3. c) Comprova si els valors exactes que has obtingut confirmen l'estimació de signes i de magnituds relatives formulada a l'apartat a).

Sabent que $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ i que $\gamma$ pertany al segon quadrant, calcula el valor exacte de $\sin \gamma$ i $\sec \gamma$.

Un edifici projecta una ombra de $24$ metres quan l'angle d'elevació del sol sobre l'horitzó és de $53^\circ$. Escriu l'expressió trigonomètrica per calcular l'altura de l'edifici i determina el seu valor. Si l'angle d'elevació es redueix a la meitat, la longitud de l'ombra es duplica? Justifica la teva resposta basant-te en la no-linealitat de la raó tangent.

Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica utilitzant les identitats fonamentals, expressant el resultat en funció d'una única raó trigonomètrica:

$\frac{\sin^3 x + \sin x \cdot \cos^2 x}{\cos x}$

Un disc de meuladora gira a $7200$ revolucions per minut. Expressa aquesta velocitat angular en radians per segon i calcula l'angle exacte (en radians) descrit per una partícula del seu voral exterior en $0,15$ segons.

Troba el valor exacte de la següent expressió reduint prèviament tots els angles al primer quadrant:

$\cos(120^\circ) \cdot \sin(225^\circ) - \tan(330^\circ) \cdot \cos(210^\circ)$

Un pèndol de $80$ cm de longitud es desplaça des de la seva posició vertical d'equilibri fins a formar un angle de $18^\circ$ amb la vertical. Calcula la distància horitzontal exacta que s'ha desplaçat la massa del pèndol i l'altura que ha ascendit respecte del seu punt més baix. Expressa els resultats en funció de les raons trigonomètriques de $18^\circ$.

Calcula els valors exactes de $\cot \alpha$ i $\csc \alpha$ sabent que $\sec \alpha = 3$ i que el sinus de l'angle és negatiu.

Per optimitzar la captació d'energia solar a l'hivern, un panell rectangular de $2$ metres de llarg s'aixeca recolzant un dels seus costats menors al terra pla, de manera que el costat oposat queda exactament a $1,2$ metres d'altura. Determina el valor exacte del cosinus i la tangent de l'angle d'inclinació del panell.

Es sap que un angle $\alpha$ pertany al segon quadrant i que $\tan\alpha = -\frac{4}{3}$. Per calcular els valors exactes de $\cos\alpha$ i $\sin\alpha$, dos companys de classe plantegen dues estratègies diferents:

• Mètode A (Raquel): Aplica la identitat $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, aïlla $\cos\alpha$ triant el signe adequat al quadrant i després obté $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$.

• Mètode B (Sergio): Planteja un sistema d'equacions amb la definició $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{4}{3}$ i la relació fonamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, aïllant una incògnita en funció de l'altra per substituir.

1. a) Compara ambdós mètodes analitzant quin resulta més directe, quin presenta menor càrrega de càlcul algebraic i en quin és més fàcil equivocar-se amb la tria de signes.
2. b) Aplica el mètode que consideris més eficient per trobar els valors exactes de $\cos\alpha$ i $\sin\alpha$, justificant la tria del signe a cada pas a partir del quadrant d'$\alpha$.

Escriu una equació polinòmica de segon grau en la incògnita $\cos x$, de la forma $a\cos^2 x + b\cos x + c = 0$ amb coeficients enters ($a, b, c \in \mathbb{Z}$ i $a > 0$), les solucions de la qual en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$ siguin única i exclusivament els quatre angles:

Per construir-la i justificar-la:

1. a) Determina el valor numèric exacte que pren $\cos x$ en cadascun d'aquests quatre angles utilitzant la simetria de la circumferència goniomètrica.
2. b) Construeix l'equació en funció de $\cos x$ a partir d'aquests valors i simplifica els seus coeficients perquè siguin nombres enters.
3. c) Justifica per què la teva equació garanteix que no existeix cap altre angle en la primera volta completa $[0^\circ, 360^\circ)$ que satisfaci la igualtat.

Demostra la següent identitat trigonomètrica, indicant els passos algebraics i les relacions fonamentals utilitzades. Assumeix que $\alpha$ és un angle per al qual totes les raons estan definides:

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2\sec \alpha$

Demostra que l'àrea d'un polígon regular de $n$ costats inscrit en una circumferència de radi $R$ ve donada per l'expressió $A = \frac{n \cdot R^2}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$. A continuació, aplica la fórmula per calcular l'àrea exacta d'un octògon regular inscrit en una circumferència de radi $10$ cm.

Dada la relació $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determina tots els valors exactes possibles per a $\sin \theta$, $\cos \theta$ i $\tan \theta$. Discuteix raonadament en quins quadrants es pot trobar l'angle $\theta$.

Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica, assumint que $x$ és un angle del primer quadrant. Para especial atenció als signes en reduir a aquest quadrant:

$\frac{\sin(\pi - x) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cdot \tan(2\pi - x)}{\cos(\pi + x) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}$

Troba tots els angles $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ que satisfan la següent equació trigonomètrica:

$2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$

(Pista: expressa tota l'equació en funció d'una única raó trigonomètrica utilitzant la identitat fonamental).

Un raig de llum passa d'un medi líquid amb índex de refracció $n_1 = 1,33$ a un cristall amb índex $n_2 = 1,52$. La llei de Snell estableix que $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, on $\theta_1$ i $\theta_2$ són els angles d'incidència i refracció mesurats respecte a la normal a la superfície. Si el raig incideix amb un angle $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ rad, determina el valor exacte del cosinus de l'angle de refracció $\theta_2$.

Dues politges circulars de radis $R = 15$ cm i $r = 5$ cm estan connectades per una corretja tensa que es creua entre elles. La distància entre els centres de les politges és de $40$ cm. Si $\alpha$ és l'angle que forma el tram recte de la corretja amb la línia imaginària que uneix els centres, calcula el valor exacte de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ i la longitud total del tram recte de la corretja comprès entre els dos punts de tangència.

Demostra que si $\alpha$ i $\beta$ són dos angles aguts complementaris (és a dir, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), aleshores es verifica sempre la següent relació trigonomètrica:

$\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\sec \alpha \cdot \sec \beta} = 1$

En un parc eòlic de Castella i Lleó, un aerogenerador té la boixa (centre de gir de les pales) situada a $90\text{ m}$ sobre el terra i les seves pales fan $50\text{ m}$ de longitud. La posició de l'extrem d'una pala es modelitza mitjançant una circumferència de radi $50\text{ m}$ centrada a $(0, 90)$, on l'angle $\alpha$ es mesura en sentit antihorari des de la posició horitzontal dreta (les $3$ en punt d'un rellotge).

A causa d'una ràfega de vent, el sistema de control bloqueja la pala quan l'angle $\alpha$ es troba en el segon quadrant i l'anemòmetre registra que $\tan\alpha = -\frac{7}{24}$.

1. a) Dedueix, mitjançant les identitats trigonomètriques fonamentals i justificant el signe segons el quadrant, els valors exactes de $\cos\alpha$ i $\sin\alpha$.
2. b) Calcula les coordenades exactes $(x, y)$ de l'extrem de la pala respecte al terra (prenent l'origen a la base del màstil vertical), indicant la seva alçària sobre el terreny i la seva desviació horitzontal.
3. c) Recolzant-te en les propietats de simetria de la circumferència goniomètrica, determina quin altre angle $\beta \in [0^\circ, 360^\circ)$ situaria l'extrem de la pala exactament a la mateixa alçària sobre el terra i calcula el valor exacte de $\sin\beta$, $\cos\beta$ i $\tan\beta$.

En una prova escrita es demana simplificar la següent expressió per a tots els angles $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ en què estigui definida:

El Carlos lliura la següent resposta:

«Com que $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, es compleix que $\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \cos\alpha$ i que $\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sin\alpha$. Substituint en l'expressió:

Per tant, el resultat val $0$ per a qualsevol angle on existeixi».

1. a) Explica amb rigor algebraic l'error comès pel Carlos en extreure les arrels quadrades i enuncia la propietat general $(\sqrt{u^2})$ que ha omès.
2. b) Indica raonadament per a quins angles $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ l'expressió $E(\alpha)$ no està definida.
3. c) Fes un estudi per quadrants del valor constant que pren $E(\alpha)$ en cadascun d'ells.
4. d) A partir del teu estudi, determina si és possible trobar algun angle $\alpha$ tal que $E(\alpha) = 2$ i descriu quina posició ocupa aquest angle a la circumferència goniomètrica.