Razones trigonométricas de un ángulo
En 4º de ESO ya extendiste el seno y el coseno más allá del triángulo rectángulo, usando una circunferencia de radio $1$. En Bachillerato esa idea se formaliza con radianes y se usa constantemente para calcular valores exactos, resolver triángulos y modelar fenómenos que giran o se repiten. Repasa la idea clave y añade las herramientas que te faltan: los ángulos notables y el manejo fino del signo.
De los catetos a la circunferencia goniométrica
En un triángulo rectángulo con un ángulo agudo $\alpha$, el seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno entre el cateto contiguo y la hipotenusa. Si se coloca ese triángulo con el vértice del ángulo en el origen y la hipotenusa como radio de una circunferencia de radio $1$, el seno y el coseno son, directamente, las coordenadas del punto donde el lado del ángulo corta a la circunferencia.
Calcula el valor exacto del seno, coseno y tangente del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden $5$ cm y $12$ cm.
Calcula el valor exacto del seno, coseno y tangente del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden $5$ cm y $12$ cm.
Los ángulos notables: $30º$, $45º$ y $60º$
Hay tres ángulos cuyos senos, cosenos y tangentes se calculan exactamente a partir de dos triángulos muy concretos: el triángulo rectángulo isósceles (para $45º$) y la mitad de un triángulo equilátero (para $30º$ y $60º$). Por eso sus valores son fracciones con raíces, no decimales redondeados.
Transforma a radianes los ángulos de $135^\circ$ y $330^\circ$, y expresa en grados sexagesimales los ángulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad y $\frac{7\pi}{4}$ rad.
Transforma a radianes los ángulos de $135^\circ$ y $330^\circ$, y expresa en grados sexagesimales los ángulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad y $\frac{7\pi}{4}$ rad.
Evalúa la siguiente expresión sustituyendo las razones trigonométricas por sus valores exactos, sin utilizar la calculadora:…
Evalúa la siguiente expresión sustituyendo las razones trigonométricas por sus valores exactos, sin utilizar la calculadora:
$\sin^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) - \tan(60^\circ) \cdot \sin(60^\circ)$
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión trigonométrica correspondiente a ángulos situados sobre los semiejes:…
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión trigonométrica correspondiente a ángulos situados sobre los semiejes:
$3\sin(90^\circ) - 2\cos(180^\circ) + 4\sin(270^\circ) - \cos(360^\circ)$
La identidad fundamental y el signo según el cuadrante
Como $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$ está siempre a distancia $1$ del origen (el radio de la circunferencia goniométrica), Pitágoras da directamente la relación más usada de toda la trigonometría. Pero al despejar una razón con una raíz cuadrada, el signo no lo decide la raíz: lo decide el cuadrante en el que esté el ángulo.
Sabiendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, halla el valor exacto de $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$ utilizando las identidades…
Sabiendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, halla el valor exacto de $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$ utilizando las identidades trigonométricas fundamentales.
Determina en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\beta$ si se cumple simultáneamente que $\sin \beta < 0$ y $\tan \beta > 0$.
Determina en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\beta$ si se cumple simultáneamente que $\sin \beta < 0$ y $\tan \beta > 0$.
Sabiendo que $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ y que $\gamma$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \gamma$ y $\sec \gamma$.
Sabiendo que $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ y que $\gamma$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \gamma$ y $\sec \gamma$.
Reducir un ángulo a la primera vuelta
Para hallar el signo o el valor de las razones de un ángulo grande, primero se reduce a $[0º,360º)$ restando vueltas completas, y después se localiza su cuadrante.
Halla el ángulo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0^\circ$ y $360^\circ$) para el ángulo de $1950^\circ$ y determina el signo de su secante y de su…
Halla el ángulo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0^\circ$ y $360^\circ$) para el ángulo de $1950^\circ$ y determina el signo de su secante y de su cotangente.
Halla el valor exacto de la siguiente expresión reduciendo previamente todos los ángulos al primer cuadrante:…
Halla el valor exacto de la siguiente expresión reduciendo previamente todos los ángulos al primer cuadrante:
$\cos(120^\circ) \cdot \sin(225^\circ) - \tan(330^\circ) \cdot \cos(210^\circ)$
Aplicaciones: pendientes, elevaciones y simplificación de expresiones
Las razones trigonométricas describen cualquier inclinación: la altura de un edificio a partir de su sombra, la pendiente de un panel solar, o una expresión algebraica que se reduce usando la identidad fundamental.
Un edificio proyecta una sombra de $24$ metros cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de $53^\circ$. Escribe la expresión trigonométrica para…
Un edificio proyecta una sombra de $24$ metros cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de $53^\circ$. Escribe la expresión trigonométrica para calcular la altura del edificio y determina su valor. Si el ángulo de elevación se reduce a la mitad, ¿la longitud de la sombra se duplica? Justifica tu respuesta basándote en la no linealidad de la razón tangente.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica utilizando las identidades fundamentales, expresando el resultado en función de una única razón…
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica utilizando las identidades fundamentales, expresando el resultado en función de una única razón trigonométrica:
$\frac{\sin^3 x + \sin x \cdot \cos^2 x}{\cos x}$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos y las relaciones fundamentales utilizadas. Asume que $\alpha$ es un ángulo para el cual…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos y las relaciones fundamentales utilizadas. Asume que $\alpha$ es un ángulo para el cual todas las razones están definidas:
$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2\sec \alpha$