Razones del ángulo resta de dos ángulos
La resta de ángulos tiene sus propias fórmulas, muy parecidas a las de la suma pero con los signos intercambiados. Con ellas se calculan valores exactos como $\sin(15º)$, se demuestran identidades que llevan décadas en los libros de texto (como $\cos(180º-\alpha)=-\cos\alpha$) y se resuelven problemas de dos señales, dos rayos de luz o dos ángulos de observación.
Las fórmulas de la resta: seno, coseno y tangente
Se obtienen de las fórmulas de la suma cambiando $\beta$ por $-\beta$ y usando que $\sin(-\beta)=-\sin\beta$ y $\cos(-\beta)=\cos\beta$ (el seno es una función impar, el coseno es par).
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. A continuación, utiliza el resultado simplificado para evaluar la…
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. A continuación, utiliza el resultado simplificado para evaluar la expresión de forma exacta cuando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.
Casos particulares: ángulos complementarios y suplementarios
Cuando uno de los dos ángulos es $90º$ o $180º$, las fórmulas de la resta se simplifican mucho y dan identidades muy usadas.
Simplifica la expresión $\sin(90^\circ - x)$ aplicando la fórmula del seno de la resta de dos ángulos y comprueba que equivale a una de las razones trigonométricas…
Simplifica la expresión $\sin(90^\circ - x)$ aplicando la fórmula del seno de la resta de dos ángulos y comprueba que equivale a una de las razones trigonométricas básicas del ángulo $x$.
Demuestra paso a paso que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando la fórmula del coseno para la resta de ángulos.
Demuestra paso a paso que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando la fórmula del coseno para la resta de ángulos.
Calcular valores exactos combinando ángulos notables
Igual que con la suma, un ángulo como $15º$ se escribe como diferencia de dos notables ($45º-30º$, o también $60º-45º$) para calcular sus razones sin calculadora.
Calcula el valor exacto de $\cos(15^\circ)$ sin utilizar la calculadora, aplicando la fórmula del coseno de la resta de dos ángulos y sabiendo que…
Calcula el valor exacto de $\cos(15^\circ)$ sin utilizar la calculadora, aplicando la fórmula del coseno de la resta de dos ángulos y sabiendo que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Halla el valor exacto de $\sin(15^\circ)$ expresando el ángulo como la diferencia $60^\circ - 45^\circ$ y aplicando la identidad correspondiente.
Halla el valor exacto de $\sin(15^\circ)$ expresando el ángulo como la diferencia $60^\circ - 45^\circ$ y aplicando la identidad correspondiente.
Determina el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ a partir de las tangentes de los ángulos notables $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.
Determina el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ a partir de las tangentes de los ángulos notables $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.
Resolver ecuaciones y problemas con razones conocidas
Cuando el enunciado da razones de $\alpha$ y $\beta$ por separado (no los ángulos), se calculan primero las razones que faltan y después se sustituye en la fórmula de la resta; si la incógnita es un ángulo, se despeja una ecuación trigonométrica.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos del primer cuadrante, calcula el valor exacto de…
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(\alpha - \beta)$.
En una simulación de navegación marítima, un barco debe ajustar su rumbo actual. El ángulo de corrección necesario viene dado por la expresión $\alpha - \beta$. Sabiendo…
En una simulación de navegación marítima, un barco debe ajustar su rumbo actual. El ángulo de corrección necesario viene dado por la expresión $\alpha - \beta$. Sabiendo que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcula el valor exacto de $\tan(\alpha - \beta)$ y deduce la amplitud del ángulo de corrección.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones posibles para el intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:…
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones posibles para el intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:
$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Aplicaciones: óptica, topografía y señales
Dos rayos de luz, dos visuales desde un punto de observación o dos señales desfasadas se describen con un único ángulo resta, aunque el contexto (física, topografía, electricidad) cambie por completo.
Un rayo de luz atraviesa dos medios distintos con ángulos de refracción $\alpha$ y $\beta$. Si por las propiedades de los materiales sabemos que…
Un rayo de luz atraviesa dos medios distintos con ángulos de refracción $\alpha$ y $\beta$. Si por las propiedades de los materiales sabemos que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (siendo $\alpha$ un ángulo del cuarto cuadrante) y $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (siendo $\beta$ un ángulo del segundo cuadrante), determina el valor exacto de $\cos(\alpha - \beta)$.
En un estudio de mercado, los ciclos de ventas estacionales de dos productos se modelan mediante funciones trigonométricas. La diferencia de fase que determina la…
En un estudio de mercado, los ciclos de ventas estacionales de dos productos se modelan mediante funciones trigonométricas. La diferencia de fase que determina la competencia directa está dada por el valor de $\cos(x - y)$. Si $\sin x = \frac{1}{3}$ y $\cos y = \frac{2}{5}$, con $x$ situado en el primer cuadrante e $y$ en el cuarto cuadrante, halla el valor exacto de $\cos(x - y)$.
En un circuito de corriente alterna, la diferencia de potencial entre dos nodos viene dada por la superposición de dos señales desfasadas:…
En un circuito de corriente alterna, la diferencia de potencial entre dos nodos viene dada por la superposición de dos señales desfasadas: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utiliza las fórmulas trigonométricas de la resta de ángulos para expresar la diferencia de potencial $V(t)$ en la forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando los valores de $A$ y $\phi$.