Exercicis: Raons de l'angle resta de dos angles

Calcula el valor exacte de $\cos(15^\circ)$ sense utilitzar la calculadora, aplicant la fórmula del cosinus de la resta de dos angles i sabent que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Troba el valor exacte de $\sin(15^\circ)$ expressant l'angle com la diferència $60^\circ - 45^\circ$ i aplicant la identitat corresponent.

Determina el valor exacte de $\tan(15^\circ)$ a partir de les tangents dels angles notables $45^\circ$ i $30^\circ$. Racionalitza el resultat si és necessari.

Simplifica l'expressió $\sin(90^\circ - x)$ aplicant la fórmula del sinus de la resta de dos angles i comprova que equival a una de les raons trigonomètriques bàsiques de l'angle $x$.

Sabent que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ i $\cos \beta = \frac{12}{13}$, i que tant $\alpha$ com $\beta$ són angles del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\sin(\alpha - \beta)$.

Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. A continuació, utilitza el resultat simplificat per avaluar l'expressió de forma exacta quan $x = 75^\circ$ i $y = 15^\circ$.

Demostra pas a pas que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilitzant la fórmula del cosinus per a la resta d'angles.

Calcula el valor exacte de $\tan(105^\circ)$ utilitzant la fórmula de la resta d'angles, considerant que $105^\circ = 135^\circ - 30^\circ$.

En Marcos està resolent un exercici en què ha de calcular el valor exacte de $\cos(15^\circ)$ aplicant la fórmula del cosinus de la diferència amb $15^\circ = 60^\circ - 45^\circ$. Al seu examen escriu el següent desenvolupament:

En revisar el resultat amb la calculadora, observa amb sorpresa que li dóna un nombre negatiu (aproximadament $-0,26$), la qual cosa sap que és impossible perquè $15^\circ$ pertany al primer quadrant i el seu cosinus ha de ser positiu.

1. a) Identifica amb precisió l'error comès per en Marcos i explica, basant-te en la paritat de les funcions trigonomètriques ($\cos(-x) = \cos x$ i $\sin(-x) = -\sin x$), per què a la fórmula del cosinus de la resta apareix un signe positiu central.
2. b) Corregeix el càlcul i troba el valor exacte i simplificat de $\cos(15^\circ)$.

Et proposes calcular el valor exacte de $\sin(15^\circ)$ mitjançant raons trigonomètriques d'angles notables.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul analític, estima raonadament entre quines dues cotes decimals senzilles s'ha de trobar $\sin(15^\circ)$: sabent que $\sin(0^\circ) = 0$ i $\sin(30^\circ) = 0,5$, i tenint en compte que la gràfica de la funció sinus en l'interval $[0^\circ, 30^\circ]$ és còncava cap avall (queda per sobre de la corda que uneix l'origen amb el punt $(30^\circ; 0,5)$), raona si $\sin(15^\circ)$ ha de ser estrictament més gran, més petit o igual que $0,25$.
2. b) Descompon $15^\circ$ com a $45^\circ - 30^\circ$ i aplica la fórmula de $\sin(\alpha - \beta)$ per obtenir l'expressió algebraica exacta i simplificada de $\sin(15^\circ)$.
3. c) Prenent les aproximacions $\sqrt{2} \approx 1,414$ i $\sqrt{6} \approx 2,449$, calcula el valor decimal obtingut amb tres xifres decimals i comprova si la teva estimació de l'apartat a) era correcta.

En una simulació de navegació marítima, un vaixell ha d'ajustar el seu rumb actual. L'angle de correcció necessari ve donat per l'expressió $\alpha - \beta$. Sabent que $\alpha$ i $\beta$ són angles aguts, amb $\tan \alpha = 3$ i $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcula el valor exacte de $\tan(\alpha - \beta)$ i dedueix l'amplitud de l'angle de correcció.

Simplifica la següent expressió algebraica trigonomètrica i expressa-la en funció exclusivament de les tangents dels angles $a$ i $b$:

$\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$

Un raig de llum travessa dos medis diferents amb angles de refracció $\alpha$ i $\beta$. Si per les propietats dels materials sabem que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (sent $\alpha$ un angle del quart quadrant) i $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (sent $\beta$ un angle del segon quadrant), determina el valor exacte de $\cos(\alpha - \beta)$.

Avalua de forma exacta, sense fer ús de la calculadora, la següent expressió trigonomètrica identificant a quin desenvolupament correspon:

$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$

Dues forces coplanàries s'apliquen sobre un objecte formant angles $\alpha$ i $\beta$ amb l'horitzontal, respectivament. Si $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ i $\cos \beta = \frac{4}{5}$ (estant ambdós angles al primer quadrant), calcula el sen de l'angle que formen entre si totes dues forces, és a dir, $\sin(\beta - \alpha)$.

Demostra analíticament que $\tan(45^\circ - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$. Utilitza aquest resultat per trobar el valor exacte de $\tan(15^\circ)$ sabent que $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Sabent que dos angles $\alpha$ i $\beta$ són complementaris ($\alpha + \beta = 90^\circ$), demostra pas a pas que es compleix la identitat $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.

En un estudi de mercat, els cicles de vendes estacionals de dos productes es modelen mitjançant funcions trigonomètriques. La diferència de fase que determina la competència directa ve donada pel valor de $\cos(x - y)$. Si $\sin x = \frac{1}{3}$ i $\cos y = \frac{2}{5}$, amb $x$ situat al primer quadrant i $y$ al quart quadrant, troba el valor exacte de $\cos(x - y)$.

Es coneixen les dades següents de dos angles: $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ amb $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$, i $\cos \beta = -\frac{5}{13}$ amb $\beta \in (180^\circ, 270^\circ)$. Es demana calcular el valor exacte de $\sin(\alpha - \beta)$. Per resoldre-ho, dos companys proposen estratègies diferents:

• Mètode 1 (Directe): Calcular $\cos \alpha$ i $\sin \beta$ fent servir la identitat fonamental $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ triant el signe adequat segons el quadrant de cada angle, i després aplicar la fórmula de $\sin(\alpha - \beta)$.

• Mètode 2 (Indirecte): Calcular $\tan \alpha$ i $\tan \beta$, aplicar la fórmula de la resta de tangents per trobar $\tan(\alpha - \beta)$, i a partir d'aquest valor deduir $\sin(\alpha - \beta)$ mitjançant la relació $1 + \tan^2(\alpha - \beta) = \frac{1}{\cos^2(\alpha - \beta)}$.

1. a) Desenvolupa completament el Mètode 1 i obtén el valor exacte i simplificat de $\sin(\alpha - \beta)$.
2. b) Analitza críticament el Mètode 2: explica quina ambigüitat fonamental apareix en intentar determinar el signe de $\sin(\alpha - \beta)$ únicament a partir de la seva tangent i justifica per què el Mètode 1 és més directe i segur.

Al Parc Nacional de Picos de Europa (Astúries), un equip del Grup de Rescat Especial d'Intervenció en Muntanya (GREIM) planifica l'evacuació d'un senderista en una paret vertical. Des del punt d'observació a la vall, la visual cap al cim de la paret forma un angle $\alpha$ amb l'horitzontal tal que $\tan \alpha = \frac{5}{2}$, mentre que la visual cap a la base de la paret forma un angle $\beta$ amb l'horitzontal amb $\tan \beta = \frac{3}{7}$ (tots dos angles al primer quadrant). L'angle total que abasta la paret des del lloc d'observació és $\theta = \alpha - \beta$.

1. a) Modelitza la situació aplicant la fórmula de la tangent de la resta per determinar el valor exacte i irreductible de $\tan \theta = \tan(\alpha - \beta)$.
2. b) A partir del resultat obtingut, dedueix sense calculadora la mesura exacta de l'angle visual $\theta$ en graus sexagesimals.
3. c) El protocol aeronàutic de rescat estableix que si l'angle visual $\theta$ supera els $40^\circ$, les turbulències tèrmiques de la paret impedeixen una aproximació frontal i l'helicòpter ha d'entrar pel flanc lateral. Justifica de manera raonada quina maniobra ha d'ordenar el pilot basant-te en el teu càlcul.

Resol la següent equació trigonomètrica, trobant totes les solucions possibles per a l'interval $0^\circ \leq x < 360^\circ$:

$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Demostra la següent identitat trigonomètrica combinant adequadament les fórmules de la suma i la resta d'angles per al sinus i el cosinus:

$\frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\sin(a + b) + \sin(a - b)} = \tan b$

Un topògraf observa un penya-segat d'altura $H$ i, situat just a la vora sobre ell, un far d'altura $h$. Des de la seva posició a una distància horitzontal $d$, l'angle d'elevació fins a la base del far és $\beta$ i fins a la cúpula del far és $\alpha$. Expressa la tangent de l'angle sota el qual es veu exclusivament el far, és a dir $\tan(\alpha - \beta)$, en funció únicament de les distàncies $H$, $h$ i $d$.

Resol el següent sistema d'equacions trigonomètriques sabent que tant $x$ com $y$ són angles pertanyents al primer quadrant:

$\sin x \cos y = \frac{3}{4}$

$\cos x \sin y = \frac{1}{4}$

Suggeriment: Calcula en primer lloc el valor de $\sin(x - y)$ i $\sin(x + y)$ sumant i restant totes dues equacions.

En el disseny d'un braç robòtic, l'angle de rotació de l'articulació final depèn de la resta de dos angles de control interns $\alpha$ i $\beta$. Si la tangent de l'angle resultant és $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$ i per restriccions mecàniques sabem que $\tan \alpha = 3 \tan \beta$, determina els possibles valors exactes de $\tan \beta$.

Demostra analíticament que $\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$. A continuació, utilitza aquest resultat algebraic per calcular mentalment el valor exacte de l'expressió $\sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$.

Resol la següent equació trigonomètrica, determinant totes les solucions possibles en l'interval $[0, 2\pi)$ radians:

$\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$

En un circuit de corrent altern, la diferència de potencial entre dos nodes ve donada per la superposició de dos senyals desfasats: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utilitza les fórmules trigonomètriques de la resta d'angles per expressar la diferència de potencial $V(t)$ en la forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinant els valors de $A$ i $\phi$.

En el disseny d'un sensor òptic en un laboratori de física de la Universidad de Zaragoza, es requereix que dos feixos lluminosos desfasats en angles aguts $\alpha$ i $\beta$ (amb $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$) compleixin la condició de sintonització següent:

1. a) Desenvolupa tots dos membres aplicant respectivament les fórmules del cosinus de la resta i del sinus de la suma de dos angles.
2. b) Agrupa tots els termes en el primer membre i factoritza l'expressió resultant mitjançant agrupació de termes per demostrar que la igualtat anterior exigeix necessàriament que $\tan \alpha = 1$ o que $\tan \beta = 1$. Quines amplituds angulars exactes en graus implica això per a $\alpha$ o $\beta$?
3. c) Justifica per què aquest resultat era previsible recorrent exclusivament a la propietat de les raons trigonomètriques d'angles complementaris ($\cos x = \sin(90^\circ - x)$) sense necessitat de recórrer al desenvolupament algebraic de l'apartat a), i proporciona una parella concreta d'angles aguts diferents $(\alpha, \beta)$ que compleixin la igualtat.

En una sala d'exposicions del Museu del Prado (Madrid), un llenç de $3\text{ m}$ d'alçària està penjat verticalment en una paret. La vora inferior del quadre es troba situada a $2\text{ m}$ per sobre de l'alçada dels ulls dels visitants. Un observador se situa dempeus a una distància horitzontal de $x$ metres de la paret ($x > 0$). Es defineix $\alpha$ com l'angle d'elevació des dels ulls del visitant fins a la vora superior del quadre, i $\beta$ com l'angle d'elevació fins a la vora inferior, de manera que l'angle visual total sota el qual es contempla el llenç és $\theta(x) = \alpha - \beta$.

1. a) Expressa $\tan \alpha$ i $\tan \beta$ en funció de la distància horitzontal $x$.
2. b) Demostra, aplicant la fórmula de la tangent de la diferència de dos angles, que la tangent de l'angle de visió ve donada per:

1. c) Per maximitzar la visualització dels detalls de l'obra pictòrica es busca la distància $x$ que fa màxim l'angle $\theta(x)$ (i, en conseqüència, $\tan \theta(x)$). Sabent que $\frac{3x}{x^2+10} = \frac{3}{x + \frac{10}{x}}$ i que l'expressió $x + \frac{10}{x}$ per a $x > 0$ assoleix el seu mínim quan tots dos sumands són iguals ($x = \frac{10}{x}$), calcula la distància exacta en metres a la qual s'ha de situar el visitant per obtenir la millor perspectiva i troba el valor exacte de $\tan \theta$ en aquesta posició òptima.