Resolución de triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden $5$ cm y $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y la medida en grados de sus dos ángulos agudos.

Los puntos $A(0,0)$, $B(8,0)$ y $C(8,6)$ forman un triángulo rectángulo en el plano cartesiano. Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo situado en el vértice $A$.

Un obelisco proyecta una sombra de $15$ m de largo en el suelo horizontal en el momento en que los rayos del sol forman un ángulo de $42^\circ$ con la horizontal. Calcula la altura del obelisco.

Un niño vuela una cometa que está sujeta por un hilo de $45$ m de longitud, el cual se mantiene completamente tenso. Si el hilo forma un ángulo de $55^\circ$ con el suelo horizontal, ¿a qué altura se encuentra la cometa? (Asume que el niño sostiene el hilo a ras de suelo).

Una rampa recta de acceso para sillas de ruedas tiene una longitud de $6$ m y salva un desnivel vertical de $0,45$ m. Determina el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal.

Desde la linterna de un faro, situada a $45$ m sobre el nivel del mar, se observan dos barcos que navegan alineados con la base del faro. El ángulo de depresión bajo el cual se ve el barco más cercano es de $34^\circ$, y el del barco más lejano es de $18^\circ$. Calcula la distancia exacta que separa a ambos barcos.

Dos chimeneas industriales verticales de $20$ m y $35$ m de altura están construidas sobre un terreno llano. Desde el punto medio del segmento rectilíneo que une sus bases, se observa la cima de la primera chimenea con un ángulo de elevación de $35^\circ$. ¿Con qué ángulo de elevación se observará la cima de la segunda chimenea desde ese mismo punto medio?

Desde un punto en el suelo se observa la barquilla de un aerogenerador con un ángulo de elevación de $32^\circ$. Al avanzar $25$ m en línea recta hacia la base del poste, el nuevo ángulo de elevación es de $50^\circ$. Plantea un sistema de ecuaciones trigonométricas y calcula la altura del aerogenerador.

Dos observadores, $A$ y $B$, se encuentran separados por una distancia de $300$ m en una llanura horizontal. Ambos miran hacia un dron estático que se encuentra exactamente en el plano vertical que pasa por la línea recta que los une, y situado espacialmente entre ellos. El observador $A$ ve el dron con un ángulo de elevación de $60^\circ$ y el observador $B$ lo ve con un ángulo de $45^\circ$. Calcula la altura exacta a la que vuela el dron, expresando el resultado con radicales.

Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia de $12$ cm de radio. (Recuerda dividir el polígono en triángulos para usar trigonometría).

Una señal de tráfico advierte de una pendiente prolongada del $15\%$. Esto indica que por cada $100$ m que se avanza en la proyección horizontal, se ascienden $15$ m en la vertical. Calcula el ángulo de inclinación de la carretera y la distancia real que recorrerá un vehículo sobre el asfalto si avanza $600$ m en la proyección horizontal.

Sobre la azotea plana de un edificio se encuentra instalada una antena de telecomunicaciones. Desde un punto en el suelo, situado a $45$ m de la base del edificio, un topógrafo observa la base de la antena con un ángulo de elevación de $38^\circ$ y la punta superior de la antena con un ángulo de elevación de $46^\circ$. Calcula la altura del edificio y la longitud exacta de la antena.