Exercicis: Resolució de triangles rectangles

Un triangle rectangle té catets que mesuren $5$ cm i $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa i la mesura en graus dels seus dos angles aguts.

Una escala de $4$ m de longitud està recolzada contra un mur vertical. Si la base de l'escala es troba a $1,2$ m de la paret, determina l'angle que forma l'escala amb el sòl horitzontal i l'altura que aconsegueix el seu extrem superior sobre el mur.

Un obelisc projecta una ombra de $15$ m de llargada al sòl horitzontal en el moment en què els raigs del sol formen un angle de $42^\circ$ amb la horitzontal. Calcula l'altura de l'obelisc.

Un nen fa volar un estel que està subjecte per un fil de $45$ m de longitud, el qual es manté completament tens. Si el fil forma un angle de $55^\circ$ amb el sòl horitzontal, a quina altura es troba l'estel? (Assumeix que el nen manté el fil a ran de sòl).

En una pantalla d'ordinador de format rectangular, la diagonal mesura $60$ cm i forma un angle de $29^\circ$ amb la base inferior del marc. Calcula l'amplada i l'altura de la pantalla.

Una rampa recta d'accés per a cadires de rodes té una longitud de $6$ m i salva un desnivell vertical de $0,45$ m. Determina l'angle d'inclinació de la rampa respecte a la horitzontal.

Un triangle isòsceles té dos costats iguals que mesuren $14$ cm cadascun, i l'angle desigual (el comprès entre ells) mesura $40^\circ$. Traçant l'altura corresponent a la base per dividir-lo en dos triangles rectangles, calcula la longitud d'aquesta base.

Els punts $A(0,0)$, $B(8,0)$ i $C(8,6)$ formen un triangle rectangle en el pla cartesià. Calcula les raons trigonomètriques (sinus, cosinus i tangent) de l'angle situat al vèrtex $A$.

Per calcular la distància entre la base d'un far coster de $24\text{ m}$ d'alçària sobre el nivell del mar i una llanxa fondejada, en Lucas mesura un angle de depressió de $20^\circ$ des de la llanterna del far. A la seva llibreta escriu:

1. a) Sense fer servir la calculadora, explica mitjançant un raonament geomètric elemental (comparant mentalment amb la forma d'un triangle de $45^\circ$) per què un resultat de $8,74\text{ m}$ és del tot absurd per a un angle de depressió de només $20^\circ$.
2. b) Identifica l'error conceptual que ha comès en Lucas en situar l'angle de depressió respecte a la vertical en lloc de l'horitzontal.
3. c) Corregeix el plantejament i calcula la distància horitzontal real $x$ entre el far i la llanxa.

En la reforma d'un centre de salut a Andalusia, es projecta construir una rampa rectilínia d'accés per salvar un desnivell vertical d' $1,2\text{ m}$. Per limitacions d'espai urbà a la vorera, el desenvolupament horitzontal màxim disponible és d'exactament $10\text{ m}$.

1. a) Abans de calcular: raona si l'angle d'inclinació de la rampa serà més gran o més petit que $10^\circ$. Per argumentar-ho, considera quin angle d'inclinació correspondria a un pendent del $100\,\%$ (catets iguals) i com varia la funció tangent per a angles aguts petits.
2. b) Calcula la mesura exacta de l'angle d'inclinació $\alpha$ de la rampa amb l'horitzontal i la longitud que recorrerà un usuari sobre ella en línia recta.
3. c) La normativa espanyola d'accessibilitat (Codi Tècnic de l'Edificació) estableix que una rampa d'aquesta longitud no ha de superar un pendent del $6\,\%$ (és a dir, $\tan(\alpha) \le 0,06$). Comprova si la rampa dissenyada compleix la norma i indica si la teva estimació inicial de l'apartat a) era coherent.

Des d'un punt a terra s'observa la nacel·la d'un aerogenerador amb un angle d'elevació de $32^\circ$. En avançar $25$ m en línia recta cap a la base del pal, el nou angle d'elevació és de $50^\circ$. Planteja un sistema d'equacions trigonomètriques i calcula l'altura de l'aerogenerador.

Calcula l'àrea i el perímetre d'un hexàgon regular que està inscrit en una circumferència de $12$ cm de radi. (Recorda dividir el polígon en triangles per utilitzar la trigonometria).

Des de la llanterna d'un far, situada a $45$ m sobre el nivell del mar, s'observen dos vaixells que naveguen alineats amb la base del far. L'angle de depressió sota el qual es veu el vaixell més proper és de $34^\circ$, i el del vaixell més llunyà és de $18^\circ$. Calcula la distància exacta que separa tots dos vaixells.

Les diagonals d'un rombe mesuren $24$ cm i $10$ cm. Sabent que les diagonals d'un rombe es tallen perpendicularment en el seu punt mitjà, calcula la mesura dels costats del rombe i l'amplitud dels seus quatre angles interiors.

Un senyal de trànsit adverteix d'un pendent prolongat del $15\%$. Això indica que per cada $100$ m que s'avança en la projecció horitzontal, s'ascendeixen $15$ m en la vertical. Calcula l'angle d'inclinació de la carretera i la distància real que recorrerà un vehicle sobre l'asfalt si avança $600$ m en la projecció horitzontal.

Dues xemeneies industrials verticals de $20$ m i $35$ m d'alçària estan construïdes sobre un terreny pla. Des del punt mitjà del segment rectilini que uneix les seves bases, s'observa el cim de la primera xemeneia amb un angle d'elevació de $35^\circ$. Amb quin angle d'elevació s'observarà el cim de la segona xemeneia des d'aquest mateix punt mitjà?

Des d'un punt $P$ exterior a una circumferència de radi $8$ cm es tracen les dues rectes tangents a aquesta. Si la distància des del punt $P$ fins al centre de la circumferència és de $17$ cm, calcula l'angle total que formen entre si les dues rectes tangents.

Un panell solar rectangular de $2,5$ m de llargada està inclinat $35^\circ$ respecte a la horitzontal d'una coberta plana. Calcula la longitud de l'ombra que projecta el panell sobre la coberta quan els raigs del sol incideixen de manera completament perpendicular al pla de la coberta.

En un tram del port de muntanya de Pajares (Astúries), un senyal de trànsit de la DGT adverteix d'un pendent perillós del «$12\,\%$», la qual cosa indica un desnivell vertical de $12\text{ m}$ per cada $100\text{ m}$ d'avanç en projecció horitzontal. El comptaquilòmetres d'un vehicle indica que ha recorregut $2,5\text{ km}$ al llarg de l'asfalt en pujada contínua per aquest tram.

1. a) Modela la situació mitjançant un triangle rectangle identificant amb precisió a quin element geomètric (catet o hipotenusa) correspon la distància registrada pel vehicle i determina l'angle d'inclinació $\alpha$ de la carretera en graus sexagesimals.
2. b) Calcula l'altitud guanyada pel vehicle en metres i la distància horitzontal real que s'ha desplaçat.
3. c) Un conductor calcula mentalment el desnivell multiplicant de manera directa la distància de l'asfalt pel percentatge: $2500 \cdot 0,12 = 300\text{ m}$. Explica matemàticament quina confusió conceptual entre raons trigonomètriques ha comès, calcula l'error en metres de la seva aproximació i raona per què per a pendents habituals en carreteres aquesta diferència resulta tan petita.

En resoldre un problema de topografia per determinar l'alçària $h$ de la torre mudèjar de San Martín (Terol) mesurant angles des de dos punts alineats amb la seva base en terreny pla, un estudiant va anotar a la pissarra únicament l'equació final a la qual va arribar després de plantejar un sistema i eliminar la incògnita de la distància horitzontal:

1. a) Reconstrueix l'enunciat complet del problema original: descriu la posició relativa dels dos punts d'observació respecte a la torre, especifica a quina distància es troben entre si i aclareix el significat topogràfic dels angles $28^\circ$ i $44^\circ$.
2. b) Justifica geomètricament per què en el parèntesi apareix una resta de raons i no pas una suma: on s'haurien d'haver situat els dos observadors perquè els termes se sumessin en lloc de restar-se?
3. c) Resol l'equació i troba l'alçària $h$ de la torre mudèjar amb dues xifres decimals.

Sobre el terrat pla d'un edifici hi ha instal·lada una antena de telecomunicacions. Des d'un punt a terra, situat a $45$ m de la base de l'edifici, un topògraf observa la base de l'antena amb un angle d'elevació de $38^\circ$ i la punta superior de l'antena amb un angle d'elevació de $46^\circ$. Calcula l'alçària de l'edifici i la longitud exacta de l'antena.

En un triangle rectangle, la longitud d'un catet és $x$ cm, la de l'altre catet és $(x+7)$ cm i la hipotenusa mesura $(x+14)$ cm. Planteja i resol l'equació corresponent per determinar el valor de $x$. A continuació, calcula el valor exacte (en forma de fracció irreductible) del sinus i del cosinus de l'angle de menor amplitud del triangle.

Dos observadors, $A$ i $B$, es troben separats per una distància de $300$ m en una plana horitzontal. Tots dos miren cap a un dron estàtic que es troba exactament en el pla vertical que passa per la línia recta que els uneix, i situat espacialment entre ells. L'observador $A$ veu el dron amb un angle d'elevació de $60^\circ$ i l'observador $B$ el veu amb un angle de $45^\circ$. Calcula l'alçària exacta a la qual vola el dron, expressant el resultat amb radicals.

Dues circumferències secants tenen radis de $10$ cm i $17$ cm. La longitud de la corda comuna a totes dues circumferències és de $16$ cm i els centres queden a banda i banda d'aquesta corda. Calcula la distància que separa els centres de les dues circumferències i determina l'angle que formen entre si les seves rectes tangents respectives en un dels punts d'intersecció.

Es vol construir una rampa recta per superar un desnivell vertical d'alçària $h$. Si l'angle d'inclinació de la rampa respecte a la horitzontal és $\alpha$, demostra utilitzant les definicions de les raons trigonomètriques que la suma de la longitud de la base de la rampa (la seva projecció horitzontal) més la longitud de la rampa mateixa és igual a $h \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Un guardacostes detecta que un vaixell $A$ navega en línia recta cap a l'Est a una velocitat constant de $20$ nusos, i un vaixell $B$ navega cap al Nord a $15$ nusos. En un instant determinat ($t=0$), tots dos vaixells es troben exactament en el mateix punt, on es creuen les seves trajectòries. Amb quin angle respecte a la direcció Nord observarà el capità del vaixell $A$ el vaixell $B$ exactament $2$ hores després d'haver-se creuat?

En un triangle isòsceles la base del qual mesura $12$ cm i l'alçària del qual sobre aquesta base és de $18$ cm, s'inscriu un rectangle de manera que un dels seus costats descansa sobre la base del triangle i els altres dos vèrtexs toquen els costats iguals. Si les diagonals d'aquest rectangle es tallen formant un angle de $60^\circ$ (essent aquest l'angle que comprèn la base del rectangle), planteja el sistema trigonomètric i geomètric necessari per calcular les dimensions exactes d'aquest rectangle.

Un post vertical projecta una ombra en un terreny pla. En un moment del matí, quan l'elevació del sol és de $\alpha = 30^\circ$, l'ombra mesura $L$ metres. Un parell d'hores més tard, quan l'elevació del sol ha augmentat a $\beta = 45^\circ$, es comprova que l'ombra s'ha escurçat exactament $10$ metres. Planteja un sistema d'equacions i calcula l'alçària exacta del post expressada amb radicals.

Sobre un penya-segat vertical que dona al mar s'alça una torre de guaita de $18\text{ m}$ d'alçària. Des d'una patrullera costanera aturada a l'aigua, es mesuren els angles d'elevació fins a la base de la torre ($\alpha = 24^\circ$) i fins al seu extrem superior ($\beta = 31^\circ$). Es vol calcular l'alçària $H$ del penya-segat sobre el nivell del mar.

Dos oficials proposen mètodes trigonomètrics diferents:

• Mètode 1 (Angles amb l'horitzontal): Utilitzar la distància horitzontal desconeguda $d$ al penya-segat mitjançant $\tan(24^\circ) = \frac{H}{d}$ i $\tan(31^\circ) = \frac{H+18}{d}$, aïllant $d$ de la primera i substituint en la segona.

• Mètode 2 (Angles amb la vertical / zenitals): Treballar amb els angles que formen les línies de visió respecte a la vertical del penya-segat ($\theta_1 = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$ i $\theta_2 = 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ$), expressant $d = H \cdot \tan(66^\circ)$ i $d = (H+18) \cdot \tan(59^\circ)$, i igualant totes dues expressions.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes de manera completa fins a trobar $H$.
2. b) Analitza algebraicament tots dos camins: quin dels dos requereix aïllar una incògnita situada al denominador i quin condueix a una equació lineal directa en $H$ sense fraccions algebraiques?
3. c) Si en una llibreta de camp s'arrodoneixen els valors de les tangents a només dos decimals en els passos intermedis, demostra numèricament quin dels dos mètodes propaga un error més gran en el resultat final i justifica quin triaries per programar el programari de navegació de l'embarcació.

Un equip tècnic projecta un camp solar fotovoltaic sobre la coberta horitzontal plana d'un centre logístic a Saragossa. Cada filera de panells fa $2,4\text{ m}$ de longitud sobre el seu pla inclinat i es munta orientada al sud amb un angle d'elevació fix de $36^\circ$ respecte a la coberta.

1. a) Modela la secció transversal d'una filera mitjançant un triangle rectangle i calcula l'alçària vertical $h$ de la seva vora superior i la longitud de la seva base horitzontal projectada $b$.
2. b) En el solstici d'hivern a les 12:00 (hora solar), els rajos del sol assoleixen en aquesta latitud la seva inclinació mínima de l'any, amb un angle d'elevació solar de només $\gamma = 25^\circ$ sobre l'horitzó. Modela el triangle rectangle que descriu l'ombra projectada per la filera i dedueix la distància horitzontal mínima $D$ que hi ha d'haver entre la part posterior d'una filera i el peu de la següent per evitar qualsevol ombreig sobre els panells.
3. c) Si la coberta fa exactament $45\text{ m}$ de fons en direcció nord-sud, determina el nombre màxim de fileres completes que es poden instal·lar garantint l'absència total d'ombres en el solstici d'hivern i indica quants metres de fons de coberta queden sense aprofitar al final.