Medida de ángulos: grados y radianes
Hasta ahora has medido los ángulos en grados, una unidad arbitraria heredada de los babilonios: $360$ partes iguales para una vuelta, sin más razón que la tradición. En Bachillerato aparece una segunda unidad, el radián, que no es arbitraria: sale directamente de comparar un arco de circunferencia con su radio. Es la unidad que usan la física y la ingeniería porque simplifica las fórmulas de rotación, desde una noria hasta el disco de una amoladora.
El radián: cuando el arco mide lo mismo que el radio
Imagina que coges el radio de una circunferencia y lo doblas sobre el propio borde de la circunferencia, como si fuera un hilo. El ángulo que abarca ese trozo de arco, exactamente igual de largo que el radio, es un radián. No importa si la circunferencia es pequeña o enorme: la proporción entre el arco y el radio es siempre la misma para ese ángulo.
Como la longitud de toda la circunferencia es $2\pi r$, y cada radián corresponde a un arco de longitud $r$, en una vuelta completa caben exactamente $2\pi$ radianes. Por eso $2\pi$ rad equivale a $360º$: no es una coincidencia, es la propia definición del radián.
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Conversión entre grados y radianes
Una vuelta completa son $360º$ y también $2\pi$ rad. Esa equivalencia es la regla de tres que convierte en cualquier dirección.
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Vueltas completas, ángulos negativos y el cuadrante
Igual que en grados, un ángulo en radianes puede superar $2\pi$ (más de una vuelta) o ser negativo (giro en sentido horario). Para saber dónde "acaba" el ángulo basta restarle o sumarle vueltas completas de $2\pi$ rad hasta dejarlo entre $0$ y $2\pi$.
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Longitud de arco y área de un sector circular
Aquí es donde el radián demuestra su utilidad: como $1$ rad se definió como un arco igual al radio, la longitud de cualquier arco es, directamente, el ángulo (en radianes) multiplicado por el radio, sin ningún factor extra.
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en…
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Velocidad angular: cuántos radianes por segundo
Cuando algo gira —un disco, una rueda, el haz de un faro— interesa saber qué ángulo recorre por unidad de tiempo: eso es la velocidad angular, y como el ángulo natural para describir giros es el radián, se mide en radianes por segundo.
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2,5$ segundos.
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida tiene un radio de $45$ cm. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.