Exercicis: Mesura d'angles: graus i radians

Expressa en radians, utilitzant fraccions irreductibles de $\pi$, els angles següents donats en graus sexagesimals: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ i $330^\circ$.

Converteix a graus sexagesimals els angles següents expressats en radians: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ i $\frac{11\pi}{3}$.

Redueix els angles següents a la primera volta (és a dir, troba el seu angle equivalent entre $0^\circ$ i $360^\circ$) i indica en quin quadrant es situa el costat final de cadascun: $1250^\circ$ i $2460^\circ$.

Troba l'angle positiu equivalent a la primera volta (comprès entre $0$ i $2\pi$ rad) per als angles negatius següents: $-\frac{\pi}{4}$ i $-\frac{13\pi}{6}$.

Calcula l'angle central subtendut per un arc de $12$ cm de longitud en una circumferència el radi de la qual és de $4$ cm. Expressa el resultat tant en radians com en graus sexagesimals.

Determina la longitud de l'arc que descriu l'extrem inferior d'un pèndol de $60$ cm de longitud quan oscil·la un angle de $\frac{\pi}{8}$ radians.

Calcula la suma dels angles interiors d'un octògon regular i expressa el valor de cadascun dels seus angles interiors en radians, utilitzant fraccions de $\pi$.

Un angle mesura exactament $3$ radians. Sense utilitzar la calculadora, raona si aquest angle és més gran, més petit o igual que un angle pla ($180^\circ$) i determina en quin quadrant es troba.

La Lucía ha de calcular l'àrea d'una parcel·la enjardinada amb forma de sector circular, el radi de la qual fa $6\text{ m}$ i l'angle central de la qual és de $45^\circ$. Per resoldre-ho, aplica directament la fórmula $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ i escriu al seu examen:

En veure el resultat, el professor li indica que revisi els seus càlculs, ja que el cercle complet de radi $6\text{ m}$ a penes té uns $113,1\text{ m}^2$ de superfície. Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès per la Lucía, justifica per què la fórmula emprada exigeix que l'angle s'expressi en radians i calcula la solució correcta tant de manera exacta (en funció de $\pi$) com amb aproximació a dos decimals.

En una pista d'entrenament circular de $50\text{ m}$ de radi, un atleta recorre un arc que subtendeix un angle central de $2,4\text{ rad}$.

1. a) Abans d'operar, fes una estimació intuïtiva: sabent que un radiant és l'angle central l'arc del qual mesura exactament el mateix que el radi, raona sense calculadora si la distància recorreguda per l'atleta superarà els $100\text{ m}$ i si serà més gran o més petita que $150\text{ m}$.
2. b) Tenint en compte que $1\text{ rad} \approx 57,3^\circ$ (gairebé $60^\circ$), estima mentalment el valor aproximat de l'angle en graus sexagesimals.
3. c) Calcula ara amb precisió la longitud de l'arc recorregut i el valor exacte de l'angle en graus sexagesimals (arredonit a dos decimals). Compara els resultats amb les teves estimacions prèvies i valora raonadament si la teva aproximació inicial ha estat encertada.

Un disc de vinil gira en un tocadiscs a una velocitat de $33$ revolucions per minut (rpm). Calcula la seva velocitat angular en radians per segon i determina l'angle, en radians, que descriu un punt de la seva vora en $2,5$ segons.

En una pista d'atletisme circular, un corredor es desplaça pel carrer interior mantenint-se a $50$ metres del centre. Si recorre una distància de $120$ metres, calcula l'angle que ha descrit respecte al centre de la pista en radians. Expressa també aquest resultat en graus, minuts i segons.

Calcula l'angle menor, expressat en graus sexagesimals i en radians, que formen les agulles d'un rellotge analògic (horària i minutera) exactament a les 16:20 h.

Dues ciutats, A i B, es troben situades sobre el mateix meridià terrestre. La latitud de la ciutat A és $41^\circ$ Nord i la latitud de la ciutat B és $28^\circ$ Sud. Assumint que la Terra és una esfera perfecta amb un radi mitjà de $6371$ km, calcula la distància en línia recta sobre la superfície terrestre que separa totes dues ciutats.

Una sínia de fira té un diàmetre de $40$ metres i compta amb $24$ cabines espaiades uniformement al llarg de la seva vora exterior. Calcula la distància al llarg de l'arc de la sínia que separa dues cabines consecutives i l'angle en radians que formen respecte de l'eix central.

El sistema de transmissió d'una màquina industrial consta de dues politges connectades per una corretja tensa. La politja motriu té un radi de $15$ cm i la politja conduïda té un radi de $45$ cm. Si la politja motriu gira un angle de $\frac{7\pi}{2}$ radians, calcula quants radians gira la politja conduïda i quantes voltes completes dona.

Un aspersor de reg agrícola cobreix un sector circular. El raig d'aigua arriba a una distància màxima de $18$ metres i el cap de l'aspersor escombra un angle de $140^\circ$. Calcula l'àrea total del terreny regat i la longitud de l'arc exterior que descriu l'aigua.

Els tres angles d'un triangle estan en progressió aritmètica. Si es sap que l'angle més gran mesura $80^\circ$, determina la mesura dels tres angles expressada en radians (utilitzant fraccions de $\pi$).

Per regar una prada de gespa en un parc públic, s'utilitza un aspersor oscil·lant amb un abast de $8\text{ m}$ que escombra un angle de $135^\circ$. Dos tècnics de manteniment calculen la superfície regada seguint camins diferents:

• Mètode A (Marcos): Planteja una proporció directa basada en la geometria clàssica en graus: $\frac{A}{135^\circ} = \frac{\pi\cdot 8^2}{360^\circ}$.

• Mètode B (Sara): Converteix primer l'angle a radians en forma de fracció irreductible de $\pi$ i aplica a continuació l'expressió $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.

1. a) Desenvolupa ambdós procediments pas a pas i comprova si els dos tècnics obtenen el mateix resultat numèric exacte.
2. b) Analitza els avantatges i inconvenients de cada mètode. Quin dels dos resulta més directe i coherent si a continuació es demana calcular la velocitat lineal de l'aigua a l'extrem sabent que l'aspersor completa aquest escombrat en $3\text{ s}$? Justifica la teva resposta utilitzant la relació $v = \omega\cdot r$.

Es projecta construir una zona de jocs infantils amb forma de sector circular, la qual es tancarà perimetralment en la seva totalitat (les dues vores rectilínies corresponents als radis i la vora corba de l'arc) utilitzant exactament $36\text{ m}$ de tanca metàl·lica.

1. a) Expressa l'àrea $A$ del sector circular en funció exclusivament del radi $r$, eliminant l'angle $\theta$ (en radians) mitjançant la condició del perímetre total de la tanca.
2. b) Si es decideix fixar el radi de la zona en $r = 9\text{ m}$, determina l'angle central $\theta$ que ha de tenir el sector (en radians i en graus sexagesimals). Quina fracció exacta del cercle complet representa aquesta zona?
3. c) Resol el problema invers: si s'imposa que l'angle central sigui obligatòriament $\theta = 2\text{ rad}$, quant ha de mesurar el radi per consumir exactament els $36\text{ m}$ de tanca? Demostra que, amb aquest valor d'angle central, la longitud de l'arc corb és sempre igual a la suma dels dos radis rectilinis, sigui quina sigui la longitud total de tanca disponible.

Un far marítim projecta un feix de llum que gira a una velocitat angular constant de $4$ revolucions per minut. El feix il·lumina la superfície del mar fins a una distància màxima de $5$ km. A causa de l'orografia de la costa, hi ha un sector cec de $\frac{2\pi}{5}$ radians cap a terra endins on la llum no és visible. Calcula l'àrea total del mar que il·lumina el far en cada volta completa i el temps exacte en segons que el feix de llum triga a travessar la zona visible.

Determina l'hora exacta, compresa entre les 7:00 h i les 8:00 h, en què les agulles d'un rellotge analògic (horària i minutera) es troben perfectament superposades. Expressa també l'angle total escombrat per l'agulla horària des de les 7:00 h fins a aquest instant precís, en radians.

El radi de les rodes d'un automòbil és de $32$ cm. Si el vehicle viatja a una velocitat constant de $90$ km/h, calcula la velocitat angular de les rodes expressada en radians per segon. Posteriorment, determina l'angle total girat per una roda en un trajecte de $15$ minuts i converteix-lo a nombre de voltes completes.

Un tren d'engranatges està compost per tres rodes dentades A, B i C muntades en sèrie, de manera que A engrana amb B, i B engrana amb C. Els radis primitius de les rodes són $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm i $R_C = 20$ cm. Si la roda A gira un angle de $150^\circ$ en sentit horari, determina l'angle de gir de la roda C en radians i especifica el seu sentit de gir.

En l'històric experiment d'Eratóstenes, es va observar que a la ciutat de Siena els raigs del sol incidien perpendicularment a terra (angle $0^\circ$) al migdia del solstici d'estiu. Al mateix temps, a Alexandria, situada aproximadament a $800$ km al nord sobre el mateix meridià, els raigs formaven un angle de $\frac{\pi}{25}$ radians amb la vertical. A partir exclusivament d'aquestes dades, dedueix el radi de la Terra i la longitud de la seva circumferència meridiana.

Un corró cilíndric de $25$ cm de radi s'utilitza per compactar l'asfalt d'un carrer. En empènyer-lo, el corró avança en línia recta rodant sense lliscar i dona exactament $14,5$ voltes completes. Calcula la distància horitzontal recorreguda per l'eix del corró en metres i l'angle total girat per qualsevol punt de la seva superfície, expressat en graus sexagesimals.

Es té un sector circular inicial de radi $R$ i angle central $\alpha$ (en radians). Es dissenya un nou sector circular amb l'objectiu que la seva àrea sigui exactament igual a la del sector original. Si per restriccions de disseny el radi del nou sector ha de ser el triple que l'original ($3R$), determina algebraicament quina fracció de l'angle $\alpha$ ha de tenir el nou sector.

Un pèndol de longitud $L = 1$ metre oscil·la descrivint arcs de circumferència; cada oscil·lació és el recorregut d'un extrem a l'extrem oposat. En la seva primera oscil·lació, l'angle màxim que forma amb la vertical és de $\frac{\pi}{6}$ radians. A causa de la fricció, en cada oscil·lació posterior, l'angle màxim assolit es redueix en un $10\%$ respecte de l'oscil·lació immediatament anterior. Plantejant la suma de la sèrie geomètrica infinita corresponent, calcula la distància total recorreguda per la massa del pèndol fins a aturar-se per complet.

En un parc eòlic situat a la província d'Albacete, un aerogenerador de tres pales compta amb un rotor el radi del qual (longitud de cada pala) és de $65\text{ m}$. El rotor gira a una velocitat angular constant de $14\text{ rpm}$ (revolucions per minut).

1. a) Modela la velocitat angular $\omega$ del rotor expressant-la en $\text{rad/s}$ (proporciona tant la fracció exacta en múltiples de $\pi$ com el valor decimal aproximat amb tres xifres significatives).
2. b) Determina la velocitat lineal $v$ a la qual es desplaça la punta exterior de cada pala en $\text{m/s}$ i converteix-la a $\text{km/h}$. Compara raonadament aquest resultat amb la velocitat màxima permesa en una autovia espanyola ($120\text{ km/h}$) i interpreta les exigències mecàniques que pateixen els extrems de les pales respecte a les zones properes a l'eix.
3. c) Un tècnic de manteniment instal·la un sensor de vibració en un punt intermedi d'una pala. Si el sensor registra una velocitat lineal d'exactament $50\text{ km/h}$, calcula a quina distància de l'eix de gir es troba col·locat i dedueix la longitud total de l'arc (en quilòmetres) que haurà traçat aquest sensor després d'una jornada ininterrompuda de funcionament de $8\text{ hores}$.

Durant una etapa plana de la Vuelta Ciclista a España, un corredor roda en una bicicleta de competició la roda posterior de la qual té un radi exterior total de $35\text{ cm}$ (inclosa la coberta). El sistema de transmissió consta d'un plat de pedals de radi $r_1 = 10,5\text{ cm}$ i un pinyó posterior de radi $r_2 = 4,2\text{ cm}$, units per una cadena tensa inextensible que no patina.

1. a) Dedueix algebraicament la relació entre la velocitat angular del plat de pedals $\omega_{\text{plato}}$ i la velocitat angular de la roda posterior $\omega_{\text{rueda}}$, recolzant-te en el fet que la cadena transmet la mateixa velocitat lineal a les vores d'ambdós engranatges ($v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$). Raona si aquest desenvolupament mecànic multiplica la velocitat angular o la força del ciclista.
2. b) La bicicleta roda per l'asfalt a una velocitat lineal d'avanç constant de $42\text{ km/h}$. Mitjançant un plantejament invers, calcula la velocitat angular de la roda posterior en $\text{rad/s}$ i la cadència de pedaleig del ciclista expressada en revolucions per minut (rpm).
3. c) Si el ciclista recorre un tram recte de $2,1\text{ km}$, calcula l'angle total girat per la roda posterior en radians i l'angle total girat per l'eix dels pedals en radians. Comprova que el quocient entre ambdós angles coincideix amb la relació de transmissió deduïda en el primer apartat.