Ángulos, longitudes y áreas

Un diseñador está creando un mosaico para el suelo de una plaza utilizando baldosas con forma de hexágono regular. Calcula cuánto mide la suma de todos los ángulos interiores del hexágono y cuál es el valor de cada uno de sus ángulos internos.

Una empresa de diseño está creando un nuevo logotipo basado en un hexágono regular de $6$ cm de lado. Dentro del hexágono, han trazado las diagonales que conectan vértices alternos, formando una "estrella de David" o hexagrama. Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo que se forma en el centro de la figura y determina el área de la parte sombreada (la estrella central) sabiendo que la apotema del hexágono original es aproximadamente $5,2$ cm.

Observa la siguiente circunferencia de centro $O$. Si el ángulo central $\angle AOB$ mide $80^\circ$, calcula el valor del ángulo inscrito $\angle ACB$ que abarca el mismo arco.

Un operario de mantenimiento quiere instalar una cámara de seguridad en la esquina de un almacén rectangular. Para ello, apoya una escalera de $5$ metros de longitud de modo que el pie de la misma dista exactamente $1,4$ metros de la pared. Sin embargo, se da cuenta de que para tener el ángulo de visión correcto, necesita que la cámara esté $60$ cm más alta. ¿Qué longitud mínima debería tener la nueva escalera si mantiene el pie en el mismo punto?

Un mástil de señales de $8$ metros de altura proyecta una sombra de $6$ metros sobre el suelo a las 11:00 de la mañana. En ese mismo instante, la sombra de una torre de refrigeración cercana mide $45$ metros.

1. Utiliza la semejanza de triángulos para calcular la altura de la torre.

2. Si el cable de seguridad que va desde la punta del mástil de señales hasta el extremo de su sombra estuviera tenso, ¿qué longitud tendría?

El ayuntamiento quiere vallar un parque rectangular que mide $40$ metros de largo y $30$ metros de ancho. Además, quieren construir un camino en línea recta que cruce el parque de una esquina a la opuesta (la diagonal). Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de dicho camino.

Una empresa de señalización está fabricando una placa de "Cuidado" con forma de rombo. Si las diagonales del rombo miden $16$ cm y $12$ cm respectivamente, calcula el área de la placa de metal necesaria para fabricarla.

Calcula el área de un pentágono regular si sabemos que su lado mide $10$ cm y su apotema mide aproximadamente $6,88$ cm.

Un arquitecto ha diseñado una ventana para un centro cultural con forma de trapecio isósceles. La base mayor mide $2,8$ metros, la base menor mide $1,6$ metros y los lados no paralelos miden $1,2$ metros cada uno. Para el presupuesto, necesita calcular el área total del cristal y la suma de los ángulos interiores de la ventana para encargar el marco metálico. ¿Cuál es el área de la ventana?

En una pizzería, una pizza familiar tiene un diámetro de $40$ cm. Si cortamos una ración que forma un sector circular con un ángulo central de $60^\circ$, calcula el área de ese trozo de pizza. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

En una plaza de tu ciudad hay una baldosa gigante con forma de corona circular. El radio del círculo exterior es de $4$ metros. Se sabe que el área de la parte transitable (la corona en sí) es de $7\pi$ $m^2$. Calcula el radio del círculo interior y determina la longitud de la valla circular que habría que poner para rodear únicamente el hueco interior.

Calcula el área de un segmento circular de $90^\circ$ de amplitud perteneciente a una circunferencia de radio $12$ cm.

Pista: Recuerda que el área del segmento circular se obtiene restando el área del triángulo formado por el arco al área del sector circular correspondiente.