Exercicis: Funció trigonomètrica

Determina el domini i el recorregut (imatge) de la funció trigonomètrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.

Calcula el període de la funció $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.

Troba els punts de tall amb l'eix d'abscisses (eix X) de la funció $h(x) = 2\sin(x) - 1$ en l'interval $[0, 2\pi]$.

Estudia la simetria (parell, senar o cap) de les funcions trigonomètriques següents:

• $f(x) = x^2 \sin(x)$

• $g(x) = \cos(x) + x^4$

Avalua la funció $f(x) = \tan(x)$ en els següents valors exactes expressats en radians:

• $x = \frac{3\pi}{4}$

• $x = \frac{5\pi}{3}$

Calcula el valor exacte en radians de les següents expressions amb funcions trigonomètriques inverses, sense utilitzar la calculadora:

• $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

• $\arccos(0)$

• $\arctan(\sqrt{3})$

Donada la funció $y = 5 - 3\sin(2x)$, identifica la seva amplitud i el seu desplaçament vertical respecte de la funció sinus bàsica.

Escriu l'expressió analítica d'una funció del tipus $f(x) = A\cos(Bx)$ sabent que la seva amplitud és $5$ i el seu període és $4\pi$.

En estudiar la funció $f(x) = -3\cos(2x) + 1$, en Lucas afirma a la seva llibreta:

«Com que el coeficient principal és $-3$, l'amplitud de l'oscil·lació és $-3$. A més, com que la $x$ està multiplicada per $2$, la funció fa els seus cicles el doble de lentament, així que el període és $T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$. Finalment, el recorregut va de $-3 + 1$ a $3 + 1$, és a dir, $[-2, 4]$».

1. a) Localitza raonadament els dos errors conceptuals comesos per en Lucas en la seva explicació.
2. b) Explica per què el recorregut que ha obtingut és numèricament correcte malgrat haver raonat malament l'amplitud.
3. c) Escriu els valors veritables i justificats de l'amplitud i del període de $f(x)$.

Escriu l'expressió analítica d'una funció trigonomètrica de la forma $f(x) = A\cos(Bx) + D$ (amb $A > 0$ i $B > 0$) que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu recorregut o imatge és l'interval $[-1, 7]$.

2. El seu període fonamental és de $4$ unitats.

3. A $x = 0$ la funció assoleix un dels seus màxims absoluts.

Justifica pas a pas com dedueixes de forma raonada el valor de cada un dels paràmetres $A$, $B$ i $D$ a partir de les propietats geomètriques donades.

L'altura $h$ (en metres) a la qual es troba una cabina d'una nòria respecte del terra en funció del temps $t$ (en minuts) ve donada per la gràfica adjunta.

A partir de la gràfica, determina l'expressió analítica de la funció en la forma $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Justifica el valor dels paràmetres $A$, $B$ i $C$.

La profunditat de l'aigua $d$ (en metres) a l'entrada d'un port varia amb les marees i es pot modelitzar mitjançant la funció $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de la mitjanit ($t=0$).

• Quina és la profunditat màxima i mínima de l'aigua al port?

• A quines hores del dia s'assoleix la profunditat màxima per primera i segona vegada?

Troba l'expressió analítica de la funció $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabent que:

• El seu valor màxim és $4$ i el seu valor mínim és $-2$.

• El seu període és $\pi$.

• Passa pel punt $(0, 1)$ i és creixent en aquest instant.

Determina el domini de la funció $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ en l'interval $[0, 2\pi]$.

El voltatge $V$ (en volts) d'un circuit de corrent altern en funció del temps $t$ (en segons) ve donat per $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.

• Calcula la freqüència del corrent (nombre de cicles complets per segon).

• Determina el primer instant $t > 0$ en què el voltatge assoleix el seu valor màxim de $311$ V.

Una càmera de seguiment està situada a $50\text{ m}$ de la base de llançament d'un coet. El coet ascendeix verticalment.

• Expressa l'angle d'elevació $\theta$ de la càmera com una funció trigonomètrica inversa de l'altura $h$ del coet.

• Calcula l'angle d'elevació exacte (en radians i graus) quan el coet es troba a una altura de $50\sqrt{3}\text{ m}$.

La posició d'un pes suspès d'una molla que oscil·la verticalment es modelitza mitjançant la funció $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, on $y$ és el desplaçament en cm respecte de la posició d'equilibri ($y=0$) i $t$ és el temps en segons.

• Quina és l'amplitud i el període del moviment?

• En quin instant $t > 0$ passa el pes per primera vegada per la posició d'equilibri?

Donada la funció $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$:

• Determina el seu domini.

• Determina el seu recorregut (imatge).

En una jornada de primavera a Còrdova, la temperatura exterior $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) al llarg d'un dia complet s'aproxima raonablement mitjançant el model:

on $t$ és el temps en hores transcorregudes des de la mitjanit ($t = 0$).

1. a) Sense fer càlculs analítics amb la fórmula, estima intuïtivament a quina hora del dia esperaries la temperatura mínima i la màxima, i quin valor de temperatura esperaries tenir cap a les $12:00$ del migdia i cap a les $18:00$.
2. b) Ara calcula mitjançant l'expressió analítica els valors exactes de la temperatura màxima, de la mínima i la temperatura a les $12:00$ ($t = 12$) i a les $18:00$ ($t = 18$).
3. c) Compara les teves estimacions prèvies amb els resultats obtinguts del model: coincideixen les teves expectatives amb la gràfica d'un cosinus reflectit i traslladat? Justifica la coherència del resultat físic amb l'expressió matemàtica.

Per calcular totes les asímptotes verticals de la funció $f(x) = \tan\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ a l'interval tancat $[0, \pi]$, dos estudiants proposen dues estratègies diferents:

• Mètode A (analític): Plantejar la condició de no definició de la tangent igualant l'argument als valors prohibits generals, $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ amb $k \in \mathbb{Z}$, aïllar $x$ i seleccionar els valors enters de $k$ que donen solucions dins de l'interval $[0, \pi]$.

• Mètode B (geomètric per transformacions): Prendre les asímptotes estàndard de la tangent bàsica $x = -\frac{\pi}{2}$ i $x = \frac{\pi}{2}$, aplicar sobre elles primer el desfasament horitzontal (translació a la dreta) i després la compressió d'escala horitzontal (factor $1/2$), i a partir d'aquí sumar el nou període.

1. a) Aplica ambdós mètodes detallant els passos intermedis i comprova que tots dos condueixen a les mateixes rectes asímptotes a $[0, \pi]$.
2. b) Compara ambdós camins: quin consideres més fiable i menys propens a ometre solucions si l'interval requerit fos molt més ampli, per exemple $[0, 10\pi]$? Justifica la teva elecció.

En una ciutat, el nombre d'hores de llum solar al llarg de l'any es pot aproximar mitjançant una funció del tipus $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, on $t$ és el dia de l'any ($t=1$ és l'1 de gener).

Sabent que el dia amb més hores de llum és el 21 de juny ($t=172$) amb $15$ hores, i el dia amb menys hores de llum és el 21 de desembre ($t=355$) amb $9$ hores:

• Troba els valors dels paràmetres $A$, $C$ i $D$.

• Estima el nombre d'hores de llum el 21 de març ($t=80$).

Donades les funcions $f(x) = \sin(2x)$ i $g(x) = \sin(x)$, calcula analíticament les coordenades exactes de tots els punts d'intersecció entre ambdues corbes en l'interval $[0, 2\pi]$. (Pista: utilitza la identitat del sinus de l'angle doble).

Troba els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ (amb $a > 0$ i $b > 0$) de la funció $f(x) = a\sin(bx) + c$ sabent que:

• El valor màxim de la funció és $10$.

• El valor mínim de la funció és $2$.

• El període de la funció és $\frac{\pi}{2}$.

Determina el domini de la funció $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$ restringit a l'interval $[0, 2\pi]$.

Resol analíticament l'equació trigonomètrica inversa: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

Les vendes mensuals $S$ (en milers d'unitats) d'un producte estacional es modelitzen mitjançant la funció $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, on $t$ és el temps en mesos ($t=0$ correspon a gener).

• Calcula les vendes al gener ($t=0$) i al juliol ($t=6$).

• Demostra analíticament si les vendes al juliol són més grans o més petites que al gener i calcula la diferència exacta.

Expressa la funció $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ en la forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partir d'aquesta nova expressió, indica l'amplitud i el desfasament de la funció.

S'inscriu un rectangle dins d'un semicercle de radi $R = 10\text{ cm}$, de manera que la seva base descansa sobre el diàmetre del semicercle, tal com mostra la figura.

Sigui $\theta$ l'angle que forma el radi traçat fins a un vèrtex superior del rectangle amb el diàmetre.

• Expressa l'àrea del rectangle en funció de l'angle $\theta$. (Pista: utilitza la fórmula del sinus de l'angle doble).

• Per a quin valor de $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ l'àrea del rectangle és màxima i quin és aquest valor màxim?

Al port de Santander, el fenomen de les marees produeix una oscil·lació periòdica del nivell de l'aigua. En una jornada concreta de marees vives, es registren les següents dades oficials de plenamar i baixamar:

• Una baixamar (mínim nivell de l'aigua) té lloc a les 03:00 h amb una cota de $0,8\text{ m}$.

• La següent plenamar (màxim nivell de l'aigua) té lloc a les 09:12 h ($t = 9,2\text{ h}$) assolint els $4,6\text{ m}$.

• El cicle de marea és semidiürn i té un període complet de $12,4\text{ hores}$.

1. a) Construeix raonadament una funció de la forma $h(t) = A\cos(B(t - C)) + D$ (amb $A > 0$) que modeli l'altura de l'aigua en metres en funció del temps $t$ (en hores transcorregudes des de la mitjanit, $t=0$). Justifica la deducció analítica dels quatre paràmetres $A$, $B$, $C$ i $D$.
2. b) Un vaixell mercant necessita un calat mínim d'aigua de $3,65\text{ m}$ per poder entrar a la bocana del port sense encallar. Planteja la inequació trigonomètrica corresponent i determina algebraicament la finestra horària del matí (entre les 03:00 i les 15:00) en la qual l'accés al port és segur per a aquest vaixell.

En una prova d'avaluació, es demana simplificar la funció composta $g(x) = \arccos(\cos x)$ i calcular el seu valor exacte per a $x = \frac{7\pi}{4}$. La Marta escriu al seu examen:

«Atès que l'arc cosinus és la funció inversa del cosinus, ambdues funcions es cancel·len directament, per la qual cosa $\arccos(\cos x) = x$ per a qualsevol nombre real $x$. En conseqüència, $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = \frac{7\pi}{4}$».

1. a) Explica de manera rigorosa per què el raonament general de la Marta és fals. En la teva explicació has de fer referència explícita a la falta d'injectivitat de la funció cosinus a $\mathbb{R}$ i a com està definit formalment el recorregut de la funció arc cosinus.
2. b) Troba el valor numèric exacte de $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)$, justificant el resultat mitjançant la circumferència goniomètrica o les propietats de simetria de les raons trigonomètriques.
3. c) Dedueix una fórmula simplificada per a $g(x) = \arccos(\cos x)$ que sigui vàlida específicament quan $x$ pertany a l'interval $[\pi, 2\pi]$.

Repte del tema. «El pols energètic diari». Investigaràs la relació entre clima i consum a la teva comunitat per proposar mesures d'eficiència al teu entorn.

1. Presa de dades: Accedeix als webs de REE (Red Eléctrica de España) i AEMET. Registra en un full de càlcul les dades horàries ($24$ hores d'un mateix dia) de demanda elèctrica i temperatura de la teva província.

2. Modelització a GeoGebra:

3. Modela l'oscil·lació tèrmica mitjançant una funció trigonomètrica $f(t) = A\cos(B(t-C)) + D$.

4. Ajusta la corba de demanda mitjançant un polinomi $P(t)$ i calcula la seva funció derivada $P'(t)$ per localitzar les hores de creixement més ràpid del consum.

5. Modela el rendiment de climatització segons la temperatura exterior plantejant una funció racional i una altra amb arrels.

6. Representa la resposta de saturació de la xarxa davant d'un pic tèrmic aplicant models exponencial i logarítmic.

7. Proposta raonada: Elabora un informe executiu breu (màxim $2$ pàgines) amb les gràfiques superposades, justificant quin tipus de funció descriu millor cada fenomen i aportant pautes d'estalvi basades en les asímptotes i extrems detectats.

Es valorarà:

• Rigor en importar dades reals i calibrar els paràmetres de les funcions a GeoGebra.

• Ús correcte de la derivada polinòmica i de les característiques essencials de cada funció (periodicitat, asímptotes, curvatura).

• Capacitat crítica per seleccionar el model òptim i justificar matemàticament les propostes.